геометрия, раздел геометрии. Основными понятиями А. г. являются простейшие геометрические образы (точки, прямые, плоскости, кривые и поверхности второго порядка). Основными средствами исследования в А. г. служат метод координат (см. ниже) и методы элементарной алгебры. Возникновение метода координат тесно связано с бурным развитием астрономии, механики и техники в 17 в. Отчётливое и исчерпывающее изложение этого метода и основ А. г. было сделано P. Декартом в его 'Геометрии' (1637). Основные идеи метода были известны также его современнику П. Ферма . Дальнейшая разработка А. г. связана с трудами Г. Лейбница , И. Ньютона и особенно Л. Эйлера . Средствами А. г. пользовался Ж. Лагранж при построении аналитической механики и Г. Монж в дифференциальной геометрии. Ныне А. г. не имеет самостоятельного значения как наука, однако её методы широко применяются в различных разделах математики, механики, физики и др. наук.
Сущность метода координат заключается в следующем. Рассмотрим, например, на плоскости p две взаимно перпендикулярные прямые Ox и Оу ( рис. 1 ). Эти прямые с указанным на них направлением, началом координат О и выбранной масштабной единицей е образуют т. н. декартову прямоугольную систему координат Оху на плоскости. Прямые Ox и Оу называются соответственно осью абсцисс и осью ординат. Положение любой точки М на плоскости по отношению к этой системе Оху можно определить следующим образом. Пусть Mx и My - проекции М на Ox : и Оу, а числа х и y - величины отрезков OMx и ОМу (величина х отрезка OMx, например, равна длине этого отрезка, взятой со знаком плюс, если направление от О к Mx совпадает с направлением на прямой Ox, и со знаком минус в противоположном случае). Числа х и у называются декартовыми прямоугольными координатами точки М в системе Оху. Обычно они называются соответственно абсциссой и ординатой точки M. Для обозначения точки М с абсциссой х и ординатой у пользуются символом М ( х,у ) . Ясно, что координаты точки М определяют её положение относительно системы Оху.
Пусть на плоскости p с данной декартовой прямоугольной системой координат Оху задана некоторая линия L. Используя понятие координат точек, можно ввести понятие уравнения данной линии L относительно системы Оху как соотношения вида F ( x,y )0, которому удовлетворяют координаты х и у любой точки M, расположенной на L, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на L. Если, например, линия L является окружностью радиуса R с центром в начале координат O , то уравнение x2+ y2 - R2 0будет уравнением рассматриваемой окружности, в чём можно убедиться, обратившись к рис. 2 . Если точка М лежит на окружности, то по теореме Пифагора для треугольника OMMx получается x2 + y2 - R2 0. Если же точка не лежит на окружности, то, очевидно, x2 + y2 - R2 ¹ 0. Итак, линии L на плоскости можно сопоставить её уравнение F ( x,y ) 0 относительно системы координат Оху.
Основная идея метода координат на плоскости состоит в том, что геометрические свойства линии L выясняются путём изучения аналитическими и алгебраическими средствами свойств уравнения F ( x,y )0 этой линии. Например, применим метод координат для выяснения числа точек пересечения окружности С радиуса R и данной прямой линии В ( рис. 3 ). Пусть начало системы координат Оху находится в центре окружности, а ось Ox направлена перпендикулярно прямой В. Так как прямая В перпендикулярна оси Ox, то абсцисса любой точки этой прямой равна некоторой постоянной a. Т. о., уравнение прямой В имеет вид x - a 0 . Координаты ( x, y ) точки пересечения окружности С (ур-ние которой имеет вид x2 + y2 - R2 0) и прямой В удовлетворяют одновременно уравнениям
x2 + y2 - R2 0, х - а 0, (1)
то есть являются решением системы (1). Следовательно, геометрический вопрос о числе точек пересечения прямой и окружности сводится к аналитическому вопросу о числе решений алгебраической системы (1). Решая эту систему, получают х a, у | R2 - a2. Итак, окружность и прямая могут пересекаться в двух точках ( R2 > a2 ) (этот случай изображен на рис. 3 ), могут иметь одну общую точку ( R2 a2 ) (в этом случае прямая В касается окружности C) и не иметь общих точек ( R2 < a2 ) (в этом случае прямая В лежит вне окружности C).
В А. г. на плоскости подробно изучаются геометрические свойства эллипса , гиперболы и параболы , представляющих собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину (см. Конические сечения ) . Эти линии часто встречаются во многих задачах естествознания и техники. Например, движение материальной точки под воздействием центрального поля силы тяжести происходит по одной из этих линий; в инженерном деле для конструирования прожекторов, антенн и телескопов пользуются важным оптическим свойством параболы, заключающимся в том, что лучи света, исходящие из определённой точки (фокуса параболы), после отражения от параболы образуют параллельный пучок.
В А. г. на плоскости систематически исследуются т. н. алгебраические линии первого и второго порядков (эти линии в декартовых прямоугольных координатах определяются соответственно алгебраическими уравнениями первой и второй степени). Линии первого порядка суть прямые, и обратно, каждая прямая определяется алгебраическим уравнением первой степени Ax + By + С 0 . Линии второго порядка определяются уравнениями вида Ax2 + Вху + Су2 + Dx + Еу + F 0 . Основной метод исследования и классификации этих линий заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнение линии имеет наиболее простой вид, и последующем исследовании этого простого уравнения. Можно доказать, что таким способом уравнение любой вещественной линии второго порядка может быть приведено к одному из следующих простейших видов:
Первое из этих уравнений определяет эллипс, второе - гиперболу, третье - параболу, а последние два - пару прямых (пересекающихся, параллельных или слившихся).
В А. г. в пространстве также пользуются методом координат. При этом декартовы прямоугольные координаты . x , у и z (абсцисса, ордината и апликата) точки М вводятся в полной аналогии с плоским случаем ( рис. 4 ). Каждой поверхности S в пространстве можно сопоставить её уравнение F ( x, y, z ) 0 относительно системы координат Oxyz. (Так, например, уравнение сферы радиуса R с центром в начале координат имеет вид x2 + y2 + z2 - R2 0.) При этом геометрические свойства поверхности S выясняются путём изучения аналитическими и алгебраическими средствами свойств уравнения этой поверхности. Линию L в пространстве задают как линию пересечения двух поверхностей S1 и S1. Если F1 ( x, y, z ) 0 и F2 ( x, y, z ) 0 - уравнения S 1 и S 2, то пара этих уравнений, рассматриваемая совместно, представляет собой уравнение линии L. Например, прямую L в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей. Так как плоскость в пространстве определяется уравнением вида Ax + By + Cz + D 0, то пара уравнений такого вида, рассматриваемая совместно, представляет собой уравнение прямой L. Т. о., метод координат может применяться и для исследования линий в пространстве. В A. г. в пространстве систематически исследуются т. н. алгебраические поверхности первого и второго порядков. Выясняется, что алгебраическими поверхностями первого порядка являются лишь плоскости. Поверхности второго порядка определяются уравнениями вида:
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Ну + Mz + N 0 .
Основной метод исследования и классификации этих поверхностей заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в которой уравнение поверхности имеет наиболее простой вид, и последующем исследовании этого простого уравнения. Важнейшими вещественными поверхностями второго порядка являются эллипсоиды , однополостный и двуполостный гиперболоиды, эллиптический и гиперболический параболоиды . Эти поверхности в специально выбранных декартовых прямоугольных системах координат имеют следующие уравнения:
Перечисленные важнейшие поверхности второго порядка часто встречаются в различных вопросах механики, физики твёрдого тела, теоретической физике и инженерном деле. Так, при изучении напряжений, возникающих в твёрдом теле, пользуются понятием т. н: эллипсоид напряжений. В различных инженерных сооружениях применяются конструкции в форме гиперболоидов и параболоидов.
Лит.: Декарт Р., Геометрия, [пер. с франц.], М.-Л., 1938; Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины XIX столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; Ефимов Н. В., Краткий курс аналитической геометрии, 9 изд., М., 1967; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Аналитическая геометрия, М., 1967; Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии, М., 1968; Бахвалов С. В., Моденов П. С., Пархоменко А. С., Сборник задач по аналитической геометрии, 3 изд., М., 1964; Клетеник Д. В., Сборник задач по аналитической геометрии, 9 изд., М., 1967.
Э. Г. Позняк.