Значение ВЗАИМНЫЕ ПОЛЯРЫ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона

начертим на плоскости какую-либо кривую второго порядка и из какой-либо точки А проведем (см. черт.) две касательные к этой прямой; прямая аа₁, проходящая через точки касания, называется полярой полюса А относительно взятой кривой. Другой полюс В (см. черт.) будет иметь полярой прямую bb₁; найдем точку p пересечения этих поляр. В аналитической геометрии доказывается, что если возьмем новый полюс С на прямой, соединяющей два первые полюса А и В, то поляра cc₁ этого полюса будет проходить через точку p пересечения поляр аa₁, и bb₁. Первоначально подобное же свойство было доказано Монжем для поверхностей второго порядка; именно он показал, что если вершина конуса, описанного около поверхности второго порядка, движется по плоскости, то плоскость кривой соприкосновения проходит через одну и ту же точку.Если через какой-либо полюс А провести прямую и определить точки пересечения ее ? и ? с коническим сечением и точку Е пересечения с полярой полюса А, то окажется, что:AE = 2A??A?/(A? + A?)и отсюда:А??АЕ — А??Аа = A??A? — A??АЕ... (1),но (см. черт.): АЕ — Aа = аE,АЕ — А? = —?Е;поэтому из равенства (1) следует, чтоАа??Е/A???E = —1,т. е. что секущая разделяется точками А, а, Е и ? в гармоническом отношении (см. Ангармоническое отношение).Всякому полюсу, где бы он ни находился, соответствует своя поляра; так, поляра полюса p есть прямая АВС (см. черт.). b11_165-0.jpg По отношению ко взятому за основание поляр и полюсов коническому сечению всякой кривой линии S соответствует взаимно-полярная ей кривая s, которая определится как геометрическое место полюсов, взаимных касательным прямым кривой S. Обе кривые взаимно-полярны относительно основного конического сечения, так что полюсам, находящимся на кривой S, соответственными полярами служат касательные кривой s.Теория взаимных поляр служит в геометрии основанием принципа двойственности, состоящего в том, что каждой теореме, относящейся к каким бы то ни было кривым или прямым S', S'', S''',... отвечает ей взаимная теорема, относящаяся ко взаимным (по отношению к основному коническому сечению) кривым s', s", s'''.... Например, теореме:"Поляры полюсов, находящихся на одной прямой, пересекаются в одной точке — в полюсе прямой", соответствует другая, ей взаимная: "полюсы поляр, проходящих через одну точку, находятся на одной прямой — поляре точки".Д. Бобылев.