? начертим на плоскости какую-либо кривую второго порядка и из какой-либо точки А проведем (см. черт.) две касательные к этой прямой; прямая аа 1 , проходящая через точки касания, называется полярой полюса А относительно взятой кривой. Другой полюс В (см. черт.) будет иметь полярой прямую bb 1 ; найдем точку p пересечения этих поляр. В аналитической геометрии доказывается, что если возьмем новый полюс С на прямой, соединяющей два первые полюса А и В, то поляра cc 1 этого полюса будет проходить через точку p пересечения поляр аa 1 , и bb 1 . Первоначально подобное же свойство было доказано Монжем для поверхностей второго порядка; именно он показал, что если вершина конуса, описанного около поверхности второго порядка, движется по плоскости, то плоскость кривой соприкосновения проходит через одну и ту же точку.
Если через какой-либо полюс А провести прямую и определить точки пересечения ее ? и ? с коническим сечением и точку Е пересечения с полярой полюса А , то окажется, что:
AE = 2A ? •A ? / ( A ? + A ? )
и отсюда:
А ?•АЕ ? А?•Аа = A ? •A ? ? A ? • АЕ ... (1),
но (см. черт.): АЕ ? Aа = аE ,
АЕ ? А? = ? ?Е;
поэтому из равенства (1) следует, что
Аа• ?Е/A? • ? E = ?1,
т. е. что секущая разделяется точками А , а , Е и ? в гармоническом отношении (см. Ангармоническое отношение).
Всякому полюсу, где бы он ни находился, соответствует своя поляра; так, поляра полюса p есть прямая АВС (см. черт.).
По отношению ко взятому за основание поляр и полюсов коническому сечению всякой кривой линии S соответствует взаимно-поляpная ей кривая s , которая определится как геометрическое место полюсов, взаимных касательным прямым кривой S. Обе кривые взаимно-полярны относительно основного конического сечения, так что полюсам, находящимся на кривой S , соответственными полярами служат касательные кривой s.
Теория взаимных поляр служит в геометрии основанием принципа двойственности, состоящего в том, что каждой теореме, относящейся к каким бы то ни было кривым или прямым S' , S", S"' , ... отвечает ей взаимная теорема, относящаяся ко взаимным (по отношению к основному коническому сечению) кривым s', s", s"' .... Например, теореме:
"Поляры полюсов, находящихся на одной прямой, пересекаются в одной точке ? в полюсе прямой", соответствует другая, ей взаимная: "полюсы поляр, проходящих через одну точку, находятся на одной прямой ? поляре точки".
Д. Бобылев.