Значение АРИФМЕТИЧЕСКИЕ РЯДЫ… в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона

Пусть будет ряд:(A)……u₀, u₁, u₂, u₃,……Если из этого ряда через вычитание каждого члена из последующего выведем другой ряд(B)……u₁ — u₀, u₂ — u₁, u₃ — u₂……равным образом, через вычитание каждого члена ряда (В) из следующего составим ряд(C)……u₂ — 2u₁+u₀, u₃ — 2u₂+u₁, u₄ — 2u₃+u₂,……и другие подобные ряды (D), (E)… (N), то (В), (С)… по отношению к (А) будут первым, вторым и т. д. разностным рядом. Если n-ый разностный ряд будет состоять из равных членов, отличных от нуля, то такой ряд называется арифметическим рядом n-го порядка. Очевидно, что члены (n + 1)-го, (n + 2)-го и т. д. разностных рядов будут равны нулю. Отсюда легко заключить, что арифметическая прогрессия a, a+b, a+2b, a+3b,… есть арифметический ряд 1-го порядка, для которого постоянный член 1-го разностного ряда = 1.b.Ряд a², (a + b)², (a + 2b)², (a + 3b)³… есть арифметический ряд 2-го порядка, где постоянный член 1-го разностного ряда = 1.2.b², и т. д.Ряд aⁿ, (a + b)ⁿ, (a + 2b)ⁿ, (a + 3b)ⁿ… есть арифметический ряд n-го порядка, для которого постоянный член 1-го разностного ряда = 1.2.3….nb_n. Очевидно, что исследование свойств их приводится к исчислению разностей.