- Пусть будет ряд:
(A)::u 0 , u 1 , u 2 , u 3 ,::
Если из этого ряда через вычитание каждого члена из последующего выведем другой ряд
(B)::u 1 - u 0 , u 2 - u 1 , u 3 - u 2 ::
равным образом, через вычитание каждого члена ряда (В) из следующего составим ряд
(C)::u 2 - 2u 1 +u 0 , u 3 - 2u 2 +u 1 , u 4 - 2u 3 +u 2 ,::
и другие подобные ряды (D), (E): (N), то (В), (С): по отношению к (А) будут первым, вторым и т. д. разностным рядом. Если n-ый разностный ряд будет состоять из равных членов, отличных от нуля, то такой ряд называется арифметическим рядом n-го порядка. Очевидно, что члены (n + 1)-го, (n + 2)-го и т. д. разностных рядов будут равны нулю. Отсюда легко заключить, что арифметическая прогрессия a, a+b, a+2b, a+3b,: есть арифметический ряд 1-го порядка, для которого постоянный член 1-го разностного ряда = 1.b.
Ряд a 2 , (a + b) 2 , (a + 2b) 2 , (a + 3b) 3 : есть арифметический ряд 2-го порядка, где постоянный член 1-го разностного ряда = 1.2.b 2 , и т. д.
Ряд a n , (a + b) n , (a + 2b) n , (a + 3b) n : есть арифметический ряд n-го порядка, для которого постоянный член 1-го разностного ряда = 1.2.3:.nb n . Очевидно, что исследование свойств их приводится к исчислению разностей.