(величины). ? Результат последовательных сложений или вычитаний не зависит от порядка, в котором эти действия производятся. Напр. 10 ? 5 + 2 = 10 +2 ? 5. Здесь переставлены не только числа 2 и 5, но и знаки, стоящие перед этими числами. Согласились число вместе со знаком считать за одно целое и назыв. число со знаком (+) ? П ., а число со знаком (?) ? отрицательным. В нашем примере +2 П. число, а ?5 отрицательное число. Многочлен рассматривают как сумму его членов, и след., 10 ? 5 + 2 = (+10) + (?5) + (+2). Вообще а + ( +b ) = а + b , а + ( ?b ) = а ? b . Знак + перед первым членом обыкновенно подразумевается. В курсах начальной алгебры устанавливаются действия над П. и отрицательными числами, и потому ограничимся здесь немногими словами. При помощи отрицательных чисел вычитание всегда выполнимо, напр. 3 ? 8 = ?5, так как 8 + (?5) = 3; алгебраические преобразования приобретают общность, напр. формула a ? b + с = ? ? ( b ? с ) справедлива при b больше с и при b меньше с.
Предположим, что по известным данным требуется определить: доход от какого-нибудь предприятия, расстояние искомой точки на прямой от данной точки, через сколько лет наступит ожидаемое событие и т. п. При решении такой задачи может получиться в ответе отрицательное число. Если же изменить задачу и искать величину убытка от предприятия, расстояние по другую сторону от данной точки, число лет, прошедших после некоторого события, и т. п., то в ответе получается в этом случае число П. Поэтому отрицательному решению придают смысл, противоположный решению положительному. Во многих геометрических вопросах ищется соотношение между отрезками прямой и углами. Отрезок прямой выражается числом при помощи некоторого отрезка, принятого за единицу. Число, выражающее угол, есть длина дуги круга, описанной около вершины угла радиусом, равным единице. Обозначив данные отрезки и углы буквами, находят при помощи геометрических соображений искомое соотношение между ними. Полученный результат справедлив для положительных значений букв и для данного расположения чертежа. Если же буквам придавать значения отрицательные, то получится другое соотношение между числами, выражающими отрезки и углы, иначе расположенные. Сказанное поясняется на след. примере. Предположим, что отрезок MN длиною r проектируется на прямую Ml , при чем проектирующая прямая МР образует с Ml угол ?. Если угол между направлениями MN и Ml равен ?, то для отрезка МР ? проекции MN на Ml ? получается формула
? = [r sin ( ??? )]/ Sin? ...(1)
Здесь угол ? предполагается меньшим угла ?. Представим себе, что отрезок MN вращается и точка N принимает положение N 1 , N 2 и N 3 , причем угол ( MN 1 , Ml ) = ? 1 ... ? > ? 1 > ?; угол ( MN 2 , Ml ) = 2? ? ? 2, ? > ? 2 > (???); угол ( ?? 3 , ?l ) = 2? ? ? 3 , ? 3 < (???). Если ввести обозначения
проекция ?? 1 на Ml = a 1
проекция MN 2 на Ml = a 2
проекция MN 3 на Ml = a 3
то получим следующие формулы:
? 1 = r Sin( ? 1 ? ?)/Sin ?...(2)
? 2 = r Sin( ? 2 ? ? + ?)/Sin ?...(3)
? 3 = r Sin(? ? ? 3 ? ?)/Sin ?...(4)
Во всех этих формулах входят числа П. Если же ввести отрицательные числа, то достаточно одной из этих формул, напр. форм. (1). Действительно, полагая в формуле (1)
a = - ? 1 , ? = ? 1
a = - ? 2 , ? = - ? 2
? = ? 3 , ? = - ? 3
получим формулы (2), (3) и (4).
Множество примеров подобного рода представляется в аналитической геометрии. Там получаются формулы, справедливые для всякого чертежа благодаря тому, что буквам придаются значения П. и отрицательные.
Д. Селиванов.