Значение МАТЕМАТИКА: СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА в Словаре Кольера

МАТЕМАТИКА: СОВРЕМЕННАЯ МАТЕМАТИКА

К статье МАТЕМАТИКА

Хотя теоретически возможно существование любых аксиом, до настоящего времени было предложено и исследовано лишь небольшое число аксиом. Обычно в ходе развития одной или нескольких теорий замечают, что какие-то схемы доказательства повторяются в более или менее аналогичных условиях. После того как свойства, используемые в общих схемах доказательств, обнаружены, их формулируют в виде аксиом, а следствия из них выстраивают в общую теорию, не имеющую прямого отношения к тем конкретным контекстам, из которых были абстрагированы аксиомы. Получаемые при этом общие теоремы применимы к любой математической ситуации, в которой существуют системы объектов, удовлетворяющие соответствующим аксиомам. Повторяемость одних и тех же схем доказательства в различных математических ситуациях свидетельствует о том, что мы имеем дело с различными конкретизациями одной и той же общей теории. Это означает, что после соответствующей интерпретации аксиомы этой теории в каждой ситуации становятся теоремами. Любое свойство, выводимое из аксиом, будет справедливо во всех этих ситуациях, но необходимость в отдельном доказательстве для каждого случая отпадает. В таких случаях говорят, что математические ситуации обладают одной и той же математической "структурой".

Мы пользуемся представлением о структуре на каждом шагу в нашей повседневной жизни. Если термометр показывает 10? С и бюро прогнозов предсказывает повышение температуры на 5? С, мы без всяких вычислений ожидаем температуру в 15? С. Если книга открыта на 10-й странице и нас просят заглянуть на 5 страниц дальше, мы не колеблясь открываем ее на 15-й странице, не отсчитывая промежуточных страниц. В обоих случаях мы полагаем, что сложение чисел дает правильный результат независимо от их интерпретации - в виде температуры или номеров страниц. Нам нет нужды учить одну арифметику для термометров, а другую - для номеров страниц (хотя мы пользуемся особой арифметикой, имея дело с часами, в которой 8 + 5 = 1, так как часы обладают другой структурой, чем страницы книги). Интересующие математиков структуры отличаются несколько более высокой сложностью, в чем нетрудно убедиться на примерах, разбору которых посвящены два следующих раздела данной статьи. В одном из них речь пойдет о теории групп и математических понятиях структур и изоморфизмов.

Теория групп. Чтобы лучше понять процесс, обрисованный выше в общих чертах, возьмем на себя смелость заглянуть в лабораторию современного математика и присмотреться к одному из его основных инструментов - теории групп (см. также АЛГЕБРА АБСТРАКТНАЯ). Группой называется набор (или "множество") объектов G, на котором определена операция, ставящая в соответствие любым двум объектам или элементам a, b из G, взятым в указанном порядке (первым - элемент a, вторым - элемент b), третий элемент c из G по строго определенному правилу. Для краткости обозначим этот элемент a*b; звездочка (*) означает операцию композиции двух элементов. Эта операция, которую мы назовем групповым умножением, должна удовлетворять следующим условиям:

(1) для любых трех элементов a, b, c из G выполняется свойство ассоциативности: a* (b*c) = (a*b) *c;

(2) в G существует такой элемент e, что для любого элемента a из G имеет место соотношение e*a = a*e = a; этот элемент e называется единичным или нейтральным элементом группы;

(3) для любого элемента a из G найдется такой элемент a?, называемый обратным или симметричным к элементу a, что a*a? = a?*a = e.

Если эти свойства принять за аксиомы, то логические следствия из них (независимые от каких-либо других аксиом или теорем) в совокупности образуют то, что принято называть теорией групп. Вывести раз и навсегда эти следствия оказалось очень полезно, поскольку группы широко применяются во всех разделах математики. Из тысяч возможных примеров групп выберем лишь несколько наиболее простых.

(а) Дроби p/q, где p и q - произвольные целые числа ?1 (при q = 1 мы получаем обыкновенные целые числа). Дроби p/q образуют группу относительно группового умножения (p/q) *(r/s) = (pr)/(qs). Свойства (1), (2), (3) следуют из аксиом арифметики. Действительно, *(t/u) = (prt)/(qsu) = (p/q)* . Единичным элементом служит число 1 = 1/1, так как (1/1)*(p/q) = (1?p)/(1?q) = p/q. Наконец, элементом, обратным к дроби p/q, является дробь q/p, так как (p/q)*(q/p) = (pq)/(pq) = 1.

(b) Рассмотрим в качестве G набор из четырех целых чисел 0, 1, 2, 3, а в качестве a*b - остаток от деления a + b на 4. Результаты таким образом введенной операции представлены в табл. 1 (элемент a*b стоит на пересечении строки a и столбца b). Нетрудно проверить, что свойства (1)-(3) выполняются, а единичным элементом служит число 0.

(с) Выберем в качестве G набор чисел 1, 2, 3, 4, а в качестве a*b - остаток от деления ab (обычного произведения) на 5. В результате получим табл. 2. Легко проверить, что свойства (1)-(3) выполняются, а единичным элементом служит 1.

(d) Четыре объекта, например четыре числа 1, 2, 3, 4, можно расположить в ряд 24 способами. Каждое расположение можно наглядно представить как преобразование, переводящее "естественное" расположение в заданное; например, расположение 4, 1, 2, 3 получается в результате преобразования

S: 1 ? 4, 2 ? 1, 3 ? 2, 4 ? 3,

которое можно записать в более удобном виде

Для любых двух таких преобразований S, T мы определим S*T как преобразование, которое получится в результате последовательного выполнения Т, а затем S. Например, если , , то . При таком определении все 24 возможных преобразования образуют группу; ее единичным элементом служит , а элемент, обратный к S, получается при замене стрелок в определении S на противоположные; например, если , то .

Нетрудно заметить, что в первых трех примерах a*b = b*a; в таких случаях говорят, что группа или групповое умножение коммутативны. С другой стороны, в последнем примере , и, следовательно, T*S отличается от S*T.

Группа из примера (d) является частным случаем т.н. симметрической группы, в сферу приложений которой входят, среди прочего, методы решения алгебраических уравнений и поведение линий в спектрах атомов. Группы из примеров (b) и (c) играют важную роль в теории чисел; в примере (b) число 4 можно заменить любым целым числом n, а числа от 0 до 3 - числами от 0 до n - 1 (при n = 12 мы получим систему чисел, которые стоят на циферблатах часов, о чем мы упоминали выше); в примере (с) число 5 можно заменить любым простым числом р, а числа от 1 до 4 - числами от 1 до p - 1.

Структуры и изоморфизм. Предыдущие примеры показывают, сколь разнообразной может быть природа объектов, образующих группу. Но на самом деле в каждом случае все сводится к одному и тому же сценарию: из свойств множества объектов мы рассматриваем лишь те, которые превращают это множество в группу (пример неполноты знания). В таких случаях говорят, что мы рассматриваем групповую структуру, заданную выбранным нами групповым умножением.

Еще один пример структуры - т.н. структура порядка. Множество E наделено структурой порядка, или упорядочено, если между элементами a и b, принадлежащими E, задано некоторое отношение, которое мы обозначим R (a,b). (Такое отношение должно иметь смысл для любой пары элементов из Е, но в общем случае оно ложно для одних пар и истинно для других, например, отношение 7

(1) R (a,a) истинно для каждого а, принадлежащего Е;

(2) из R (a,b) и R (b,a) следует, что a = b;

(3) из R (a,b) и R (b,c) следует R (a,c).

Приведем несколько примеров из огромного числа разнообразных упорядоченных множеств.

(а) E состоит из всех целых чисел, R (a,b) - отношение "а меньше или равно b".

(b) Е состоит из всех целых чисел 1, R (a,b) - отношение "а делит b или равно b".

В качестве последнего примера структуры упомянем структуру метрического пространства; такая структура задается на множестве Е, если каждой паре элементов a и b, принадлежащих E, можно поставить в соответствие число d (a,b) ? 0, удовлетворяющее следующим свойствам:

(1) d (a,b) = 0 в том и только том случае, когда a = b;

(2) d (b,a) = d (a,b);

(3) d (a,c) ? d (a,b) + d (b,c) для любых трех заданных элементов a, b, c из E.

Приведем примеры метрических пространств:

(a) обычное "трехмерное" пространство, где d (a,b) - обычное (или "евклидово") расстояние;

(b) поверхность сферы, где d (a,b) - длина наименьшей дуги круга, соединяющей две точки a и b на сфере;

Точное определение понятия структуры довольно сложно. Не вдаваясь в подробности, можно сказать, что на множестве Е задана структура определенного типа, если между элементами множества Е (а иногда и другими объектами, например числами, которые играют вспомогательную роль) заданы отношения, удовлетворяющие некоторому фиксированному набору аксиом, характеризующему структуру рассматриваемого типа. Выше мы привели аксиомы трех типов структур. Разумеется, существуют многие другие типы структур, теории которых полностью разработаны.

С понятием структуры тесно связаны многие абстрактные понятия; назовем лишь одно из наиболее важных - понятие изоморфизма. Вспомним пример групп (b) и (c), приведенных в предыдущем разделе. Нетрудно проверить, что от табл. 1 к табл. 2 можно перейти с помощью соответствия

0 ? 1, 1 ? 2, 2 ? 4, 3 ? 3.

В этом случае мы говорим, что данные группы изоморфны. В общем случае две группы G и G? изоморфны, если между элементами группы G и элементами группы G? можно установить такое взаимно однозначное соответствие a ? a?, что если c = a*b, то c? = a?*b??для соответствующих элементов ??. Любое утверждение из теории групп, справедливое для группы G, остается в силе и для группы G?, и наоборот. Алгебраически группы G и G? неразличимы.

Читатель без труда убедится, что точно так же можно определить два изоморфных упорядоченных множества или два изоморфных метрических пространства. Можно показать, что понятие изоморфизма распространяется на структуры любого типа.

Кольер. Словарь Кольера. 2012