делать тяжёлую однообразную работу в течение продолжительного времени. Выражение восходит к речи бурлаков на русских судоходных реках. Вниз суда шли по течению, а для поднятия их вверх, против течения, использовались лошади или бурлаки. Хозяин судна нанимал артель бурлаков и они тянули суда против течения за канат - бечеву. Канат крепился за мачту или специально установленный шесть. Бурлаки перекидывали лямки, прикреплённые к бечеве, через плечо и шли по берегу или мелководью у берега, таща за собой суда или баржи. Лямка в выражении - широкий ремень из кожи или прочной ткани, который перекидывают через плечо для тяги или переноски грузов.
Значение ЛЯМКУ ТЯНУТЬ (НЕОДОБР.) в Справочнике по фразеологии
Что такое ЛЯМКУ ТЯНУТЬ (НЕОДОБР.)
Справочник по фразеологии. 2012