Первоначально отчество от формы Ледяйка из мордовского мужского имени Ледяй, в основе которого ледемс — “косить”, ледема — “косьба” (фамилия семантически аналогична русской фамилии Косарев). Фамилия нередка в Мордовии и Среднем Поволжье. Есть и фамилия Ледяев, но гораздо реже, так как для народов Поволжья в прошлом, даже в XIX в., личные имена употребляли обязательно с уничижительным суффиксом -к-(а).
Значение слова ЛЕДЯЙКИН в Словаре русских фамилий
Что такое ЛЕДЯЙКИН
Словарь русских фамилий. 2012