В основе фамилии, очевидно, отчество, образованное от имени (или прозвища), связанного с нарицательным бабура от глагола бабуритъ — “говорить” (тул.) или бабура как ласкательное к бабушка.
Значение слова БАБУРИН в Словаре русских фамилий
Что такое БАБУРИН
Словарь русских фамилий. 2012