(от лат. simplex - простой) (математический), простейший выпуклый многогранник данного числа измерений n . При n 3 трёхмерный С. представляет собой произвольный, в том числе неправильный, тетраэдр. Под двумерным С. понимают произвольный треугольник, а под одномерным - отрезок. Нульмерный С. есть просто одна точка.
n -мерный С. имеет n + 1 вершин, не принадлежащих ни к какому ( n - 1)-мерному подпространству того евклидова пространства (с числом измерений n или больше), в котором лежит данный С. Обратно, всякие n + 1 точек евклидова n -мерного пространства Rm , m ³ n ,не лежащие ни в каком подпространстве менее n измерений, однозначно определяют n -mepный С. с вершинами в заданных точках e0 , e1 ,..., en , он может быть определён как выпуклое замыкание совокупности заданных n + 1 точек, т. е. как пересечение всех выпуклых тел пространства Rm , содержащих эти точки. Если в пространстве Rm дана система декартовых координат x1 , х2 ,. .. , хт , в которой вершина ei , i 0, 1,..., n , имеет координаты x1 ( i ), x2 ( i ) , ..., xm ( i ), то С. с вершинами e0 , e1 ,..., em состоит из всех точек пространства, координаты которых имеют вид:
, k 1,2, ... , m , где m( 0 ), m( 1 ),..., m( n ) - произвольные неотрицательные числа, дающие в сумме 1 . По аналогии со случаем n £З можно сказать, что все точки С. с данными вершинами получаются, если в эти вершины поместить произвольные неотрицательные массы (из которых по крайней мере одна отлична от нуля) и взять центр тяжести этих масс (дополнительное требование, чтобы сумма всех масс равнялась 1, исключает лишь случай, когда все массы - нулевые).
Любые r + 1 вершин, 0 £ r £ n - 1, взятые из числа данных n + 1 вершин n -мерного С., определяют некоторый r -мерный С. - r -мерную грань данного С. Нульмерные грани С. суть его вершины, одномерные грани называются ребрами.
Лит.: Александров П. С., Комбинаторная топология, М. - Л., 1947; Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии, М. - Л., 1947, с. 23-31.