- Гурвица проблема, проблема, состоящая в определении числа k корней алгебраического уравнения
a0zn + a1zn-1 + ... + an-1z + an 0 ,
имеющих положительные действительные части. В случае коэффициентов a 0, a 1,..., a n справедлива формула
(1)
где V - число знакоперемен в ряде чисел a 0, D 1, , ..., а Dl ( l 1, 2, ..., n - определители Гурвица (см. Гурвица критерий ). Специального рассмотрения требуют особые случаи, когда некоторые из Dl равны нулю. В случае l 1 из формулы (1) следует критерий Гурвица. Формула (1) была установлена нем. математиком А. Гурвицем (A. Hurwitz; 1895). Другими путями Р. - Г. п. исследовалась ранее французским математиком Ш. Эрмитом (1856) и английским механиком Э. Раусом (Е. Routh; 1877). Раус установил специальный алгоритм для вычисления числа k. Формула (1) может быть заменена геометрическим правилом. Точка, изображающая комплексную величину
a 0( i w) n + a 1( i w) n-1... + a n,
при изменении w от 0 до + ¥ описывает кривую. Если при этом полярный угол q точки кривой получает приращение
Dq n, то
k ( n - n)/2.(2)
Специального рассмотрения требует особый случай, когда кривая проходит через начало координат. При k 0 из формулы (2) следует n n, что даёт получивший широкое распространение в технической литературе критерий устойчивости А. Михайлова (1939).
В приложениях встречаются обобщения Р. - Г. п. на случай комплексных коэффициентов a 0, a 1, ..., a n и на случай трансцендентных уравнений.