(от лат. postulatum - требование), предложение (условие, допущение, правило ) , в силу каких-либо соображений 'принимаемое' без доказательства, но, как правило, с обоснованием, причём именно это обоснование и служит обычно доводом в пользу 'принятия' П. Характер 'принятия' может быть различным: предложение принимается в качестве истинного (как в содержательных аксиоматических теориях, см. Аксиоматический метод ) либо в качестве доказуемого (как в формальных аксиоматических системах, см. там же); либо некоторые предписания принимаются 'к исполнению' в качестве правил образования формул некоторого исчисления или в качестве правил вывода исчисления, позволяющих получать теоремы из аксиом; либо некоторые абстрагированные от данных многократного опыта 'принципы' (типа, например, 'законов сохранения') кладутся в основу физических и др. естественнонаучных теорий; либо некоторые (например, правовые) установления, предписания, нормы получают (в результате других установлений) статус законов; либо, наконец, каких-либо религиозные, философские, идеологические догматы кладутся в основу определённых систем взглядов. При всей разнородности этих примеров общим для них является то обстоятельство, что, не жалея доводов, призванных убедить в разумности ('правомерности') предлагаемых нами П., мы в конечном счёте просто требуем (отсюда и этимология слова 'П.') этого принятия; в таких случаях говорят, что выдвигаемые на эту роль предложения постулируются.
Естественно, что у столь широкого и богатого оттенками смысла понятия известно много конкретных, более специальных и потому весьма различных реализаций. Вот перечень некоторых из наиболее употребительных.
1) Евклид , которому принадлежит первое из известных систематических аксиоматических описаний геометрии, различал П. (греч. слово aithmata), утверждающие выполнимость некоторых геометрических построений, и собственно аксиомы, утверждающие (постулирующие!) наличие некоторых определенных свойств у результатов этих построений; кроме того, аксиомами он называл принимавшиеся им без доказательства предложения чисто логического (а не геометрического) характера (например, 'часть меньше целого' и т.п.). Эта двоякая (и не вполне чёткая) линия разграничения близких понятий продолжалась и далее.
2) Термины 'аксиома' и 'постулат' нередко употреблялись и употребляются как синонимы ; в частности, знаменитый V постулат Евклида (о параллельных) в гильбертовской аксиоматике именуется 'аксиомой параллельности'.
3) Вместе с тем многие авторы (см., например, А. Чёрч, Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, ¬¬ 07 и 55) называют аксиомами 'чисто логические' предложения, принимаемые в данной теории без доказательства, в отличие от П., относящихся к специфическим понятиям данной (обычно математической) теории.
4) Согласно древней традиции, также принятой в математической логике (см., например, С. К. Клини, Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, ¬¬19 и 77), к П. формальной системы (исчисления) относят аксиомы, записанные на её собственном ('предметном') языке, и правила вывода, формулируемые на метаязыке данной теории (и входящие потому в её метатеорию ) .
5) П. называют такие утверждения дедуктивных и особенно полудедуктивных наук, доказать которые вообще нельзя хотя бы потому, что подтверждающие их доводы и факты носят исключительно опытный, индуктивный характер (см. Индукция , Неполная индукция ) ; к тому же в ряде таких случаев речь идёт об утверждении эквивалентности некоторого интуитивно ясного, но четко не формулируемого утверждения или понятия с утверждением или понятием, являющимся экспликацией (уточнением) первого и потому формулируемым на принципиально более высокой ступени абстракции (примеры первого типа: основные принципы термодинамики, принцип постоянства скорости света и предельного её характера; пример второго типа - т. н. тезис Чёрча в теории алгоритмов).
Лит. см. при статьях Аксиоматический метод , Правило вывода .