корень по модулю m, такое число g, что положительное наименьшее число k, для которого разность gk - 1 делится на m ( gk сравнимо с 1 по модулю m ) , совпадает c j( m ), где j( m ) - число натуральных чисел, меньших m и взаимно простых с m. Например, при m 7 П. к. по модулю 7 является число 3 . Действительно j(7) 6; числа 31 - 1 2, 32 - 1 8, 33 - 1 26, 34 - 1 80, 35 - 1 242 не делятся на 7, лишь 36 - 1 728 делится на 7 . П. к. существуют, когда m 2, m 4, m рa, m 2 pa (где р - простое нечётное число, a - целое ³1), а для других модулей их нет. Число П. к. в этих случаях равно j[j(m)] (числа, разность которых кратна m, не считаются за различные). И. М. Виноградов в 1926 установил, что в интервале (1, 22 klnp ) найдётся П. к. по модулю р, где р - простое нечётное число, k - число различных простых делителей числа р - 1. См. также Чисел теория , Индексы в теории чисел.
Лит.: Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972; его же, Избр. труды. М., 1952, с. 54-57.