Значение МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ в Большой советской энциклопедии, БСЭ

МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ

игры , понятие игр теории . М. и. - игры, в которых участвуют два игрока (I и II) с противоположными интересами, причём каждый игрок имеет конечное число чистых стратегий . Если игрок I имеет m стратегий, а игрок II - n стратегий, то игра может быть задана ( m ` n )-maтрицей А || a ij||, где a ij есть выигрыш игрока I, если он выберет стратегию i ( i -1, ..., m ), а игрок II - стратегию j ( j 1, ..., n ). Следуя общим принципам поведения в антагонистических играх (частным случаем которых являются М. и.), игрок I стремится выбрать такую стратегию i0 , на которой достигается

;

игрок II стремится выбрать стратегию jo , на которой достигается

;

Если u1 u2, то пара( i0, j0 ) составляет седловую точку игры, то есть выполняется двойное неравенство

; i 1, -, m ; j 1, -, n .

Число называется значением игры; стратегии i0 , j0 называются оптимальным и чистыми стратегиями игроков I и II соответственно. Если u1 ¹ u2, то всегда u1 < u2; в этом случае в игре седловой точки нет, а оптимальные стратегии игроков следует искать среди их смешанных стратегий (то есть вероятностных распределений на множестве чистых стратегий). В этом случае игроки оперируют уже с математическими ожиданиями выигрышей.

Основная теорема теории М. и. (теорема Неймана о минимаксе) утверждает, что в любой М. и. существуют оптимальные смешанные стратегии х* , у* , на которых достигаемые 'минимаксы' равны (общее их значение есть значение игры). Например, игра с матрицей имеет седловую точку при i0 2, j0 1, а значение игры равно 2; игра с матрицей не имеет седловой точки. Для неё оптимальные смешанные стратегии суть х* (3/4, 1/4), y* (1/2, 1/2); значение игры равно 1/2.

Для фактического нахождения оптимальных смешанных стратегий чаще всего используют возможность сведения М. и. к задачам линейного программирования . Можно использовать так называемый итеративный метод Брауна - Робинсон, состоящий в последовательном фиктивном 'разыгрывании' данной игры с выбором игроками в каждой данной партии своих чистых стратегий, наилучших против накопленных к этому моменту стратегий оппонента. Игры, в которых один из игроков имеет только две стратегии, просто решить графически.

М. и. могут служить математическими моделями многих простейших конфликтных ситуаций из области экономики, математической статистики, военного дела, биологии. Нередко в качестве одного из игроков рассматривают 'природу', под которой понимается вся совокупность внешних обстоятельств, неизвестных принимающему решения лицу (другому игроку).

Лит.: Матричные игры. [Сборник переводов], под редакцией Н. Н. Воробьева, М., 1961; Нейман Дж. фон, Моргенштерн О., Теория игр и экономическое поведение, перевод с английского, М., 1970; Оуэн Г., Теория игр, перевод с английского, М., 1971.

А. А. Корбут.

Большая советская энциклопедия, БСЭ.