правдоподобия метод, метод нахождения статистических оценок неизвестных параметров распределения; согласно М. п. м., в качестве оценок выбираются те значения параметров, при которых данные результаты наблюдений 'наиболее вероятны'. Предполагается, что результаты наблюдений X1 , ..., Xn являются взаимно независимыми случайными величинами с одним и тем же распределением вероятностей, зависящим от одного неизвестного параметра q Î Q, где Q - множество допустимых значений q. Для придания точного смысла принципу 'наибольшей вероятности' поступают следующим образом. Вводят функцию
,
где p ( t ;q) в случае непрерывного распределения интерпретируется как плотность вероятности случайной величины X , а в дискретном случае - как вероятность того, что случайная величина Х примет значение t . Функцию L ( X1, . . ., Xn; q) от случайных величин X1, . . ., Xn называют функцией правдоподобия, а оценкой максимального правдоподобия параметра q называют такое значение ( X1, . . ., Xn ) (само являющееся случайной величиной), при котором функция правдоподобия достигает наибольшего возможного значения. Так как точка максимума для log L та же, что и для L , то для нахождения оценок максимального правдоподобия следует решить так называемое уравнение правдоподобия
.
М. п. м. не всегда приводит к приемлемым результатам, однако в достаточно широком круге практически важных случаев этот метод является в известном смысле наилучшим. Так, например, можно утверждать, что если для параметра q существует несмещенная эффективная оценка q* по выборке объёма n , то уравнение правдоподобия имеет единств, решение . Что касается асимптотического поведения оценок максимального правдоподобия при больших n , то известно, что при некоторых общих условиях М. п. м. приводит к состоятельной оценке, которая асимптотически нормальна и асимптотически эффективна. Данные выше определения непосредственно обобщаются и на случай нескольких неизвестных параметров и на случай выборок из многомерных распределений. М. п. м. в его современном виде был предложен английским статистиком Р. Фишером (1912), однако в частных формах метод использовался К. Гауссом , а ещё раньше, в 18 веке, к его идее были близки И. Ламберт и Д. Бернулли . Следует добавить, что название 'М. п. м.' является калькой с английского 'maximum likelihood method'.
Лит.: Крамер Г., Математические методы статистики, перевод с английского, М., 1948; Рао С. Р., Линейные статистические методы и их применения, перевод с английского, М., 1968; Худсон Д., Статистика для физиков, перевод с английского, М., 1970.
А. В. Прохоров.