Значение ЛЯПУНОВА ТЕОРЕМА в Большой советской энциклопедии, БСЭ

ЛЯПУНОВА ТЕОРЕМА

теорема в теории вероятностей, теорема, устанавливающая некоторые весьма общие достаточные условия для сходимости распределения сумм независимых случайных величин к нормальному закону. Сформулирована и доказана А. М. Ляпуновым в 1901. Л. т. завершает исследования П. Л. Чебышева , А. А. Маркова (старшего) и самого А. М. Ляпунова в этом основном для всей теории вероятностей направлении. Точная формулировка Л. т. такова: пусть независимые случайные величины Xi,..., Xn , ... имеют конечные математические ожидания EXk, дисперсии DXk и при d > 0 абсолютные моменты и пусть - дисперсия суммы Xi,..., Xn . Утверждается, что, если при некотором d > 0

(условие Ляпунова), то вероятность неравенства

стремится при n - ¥ к пределу

равномерно относительно всех значений x1 и x2 . Ляпунов дал также оценку скорости сходимости в Л. т. В дальнейшем были установлены условия, расширяющие условие Ляпунова и являющиеся не только достаточными, но в некотором смысле необходимыми. См. Предельные теоремы теории вероятностей.

Лит.: Ляпунов А. М., Новая форма теоремы о пределе вероятности, Собрание сочинений, т. 1, М., 1954, с. 157; Бернштейн С. Н., Теория вероятностей, 4 изд., М. - Л., 1946, с. 275.

А. В. Прохоров.

Большая советская энциклопедия, БСЭ.