Значение КОНСТРУКТИВНОЕ НАПРАВЛЕНИЕ в Большой советской энциклопедии, БСЭ

КОНСТРУКТИВНОЕ НАПРАВЛЕНИЕ

направление в математике, математическое мировоззрение, связанное с признанием исследования конструктивных процессов и конструктивных объектов основной задачей математики. К концу 19 в. в математике возникло неконструктивное, теоретико-множественное направление, получившее существенное развитие в трудах К. Вейерштрасса , Р. Дедекинда и особенно Г. Кантора . Началось построение теории множеств, претендовавшей на роль фундамента всей математики. В этой теории, в соответствии с изречением Кантора 'сущность математики в её свободе', допускался большой произвол при введении 'множеств', которые затем рассматривались как законченные 'объекты'. Однако в начале 20 в. в теории множеств были открыты т. н. антиномии, т. е. противоречия, показавшие, что нельзя любым образом объединить 'объекты' в 'множества'. Попытки преодолеть возникшие трудности были сделаны на пути аксиоматизации теории множеств, т. е. превращения её в аксиоматическую науку наподобие геометрии (см. Аксиоматическая теория множеств ) . Это осуществляется так, чтобы всё, требуемое для обоснования математики, получалось на основе аксиом, тогда как известные до сих пор антиномии не проходили бы.

Первая попытка в этом направлении была предпринята Э. Цермело , опубликовавшим свою систему аксиом теории множеств в 1908. Известные антиномии теории множеств не проходили в системе Цермело, однако гарантий против появления противоречий не было. Возникла проблема обеспечения непротиворечивости аксиоматически построенной теории множеств. Эту проблему выдвинул и пытался решить Д. Гильберт , основная идея которого состояла в полной формализации аксиоматической теории множеств, в трактовке её как формальной системы (см. в ст. Логика ) . Задача установления непротиворечивости рассматриваемой теории сводилась бы тогда к доказательству формальной недоказуемости формул определённого вида. Это доказательство должно было быть убедительным рассуждением о конструктивных объектах - формальных доказательствах. Оно, таким образом, должно было укладываться в рамки конструктивной математики . Цепь, поставленная Гильбертом, оказалась недостижимой, что было доказано К. Гёделем в 1931. Однако большой интерес представляет предложенное Гильбертом средство - метаматематика , конструктивная наука о формальных доказательствах, являющаяся частью конструктивной математики. Программу Гильберта можно охарактеризовать как неудавшуюся попытку обосновать теоретико-множественную математику на базе конструктивной математики, в надёжности которой он не сомневался. Самого же Гильберта следует считать одним из основоположников конструктивной математики.

К. н. можно рассматривать как ответвление основанного Л. Э. Я. Брауэром интуиционизма, программа которого состоит в исследовании умственных математических построений. Близость К. н. к интуиционизму проявляется в понимании дизъюнкций и теорем существования, а также в трактовке закона исключенного третьего. Расхождения между этими двумя направлениями состоят прежде всего в том, что конструктивисты, в отличие от интуиционистов, не считают свои построения чисто умственным занятием; кроме того, интуиционисты рассуждают о неких 'свободно становящихся последовательностях' и рассматривают континуум как 'среду свободного становления', тем самым привлекая к рассмотрению неконструктивные объекты. К. н. в математике привело к построению особой науки - конструктивной математики.

А. А. Марков.

Большая советская энциклопедия, БСЭ.