числа, числа вида х + iy, где х и у - действительные числа, а i - так называемая мнимая единица (число, квадрат которого равен -1); х называют действительной частью, а у - мнимой частью К. ч. z х +iy (обозначают х Re z, у Im z ) . Действительные числа - частный случай К. ч. (при у 0); К. ч., не являющиеся действительными ( у ¹ 0), называют мнимыми числами; при х 0 К. ч. Называют чисто мнимым. К. ч. z х+iy и z х - iy называют комплексно-сопряжёнными. Арифметические действия над К. ч. производятся по обычным правилам действий над многочленами с учётом условия i2 - 1. Геометрически каждое К. ч. х + iy изображается точкой плоскости, имеющей прямоугольные координаты х и у (см. рис. ). Если полярные координаты этой точки обозначить через r и j :, то соответствующее К. ч. можно представить в виде:
r (cos j + i sin j)
(тригонометрическая, или полярная, форма К. ч.);
называют модулем К. ч. х+iy, а j arg z - аргументом его. Тригонометрическая форма К. ч. особенно удобна для действий возведения в степень и извлечения корня:
[r (cos j + i sin j)] n rn (cos nj + i sin n j) ,
, в частности
, k 0, 1, -, n-1
По своим алгебраическим свойствам совокупность К. ч. образует поле . Это поле алгебраически замкнуто, т. е. любое уравнение xn + a1xn-1+...+an 0; где a1,..., an -К. ч., имеет (при учёте кратности) среди К. ч. точно n корней.
Уже в древности математики сталкивались в процессе решения некоторых задач с извлечением квадратного корня из отрицательных чисел; в этом случае задача считалась неразрешимой. Когда же в 1-й половине 16 в. были найдены формулы для решения кубических уравнений , оказалось, что в так называемом неприводимом случае действительные корни уравнений с действительными коэффициентами получаются в результате действий над К. ч. Это содействовало признанию К. ч. Первое обоснование простейших действий с К. ч. встречается у Р. Бомбелли в 1572. Однако долгое время к К. ч. относились, как к чему-то сверхъестественному. Так, Г. Лейбниц в 1702 писал: 'Мнимые числа - это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием'. В 1748 Л. Эйлер нашёл замечательную формулу ei j cosj + isin j, явившуюся первым важным результатом теории функций комплексного переменного, но истинный характер К. ч. выяснился лишь к концу 18 в., когда была открыта их геометрическая интерпретация (см. выше). Термин 'К. ч.' предложен К. Гауссом в 1831. Введение К. ч. делает многие математические рассмотрения более единообразными и ясными и является важным этапом в развитии понятия о числе (см. Число ). К. ч. Употребляются теперь при математическом описании многих вопросов физики и техники (в гидродинамике, аэромеханике, электротехнике, атомной физике и т.д.). Основные разделы классического математического анализа приобретают полную ясность и законченность только при использовании К. ч., чем обусловливается центральное место, занимаемое теорией функций комплексного переменного. См. Аналитические функции .
Лит.: Маркушевич А. И., Комплексные числа и конформные отображения, 2 изд., М., 1960; Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 9 изд., М., 1968.