операция отождествления символов или групп символов одного кода с символами или группами символов другого кода. Необходимость К. возникает прежде всего из потребности приспособить форму сообщения к данному каналу связи или какому-либо другому устройству, предназначенному для преобразования или хранению информации. Так, сообщения представленные в виде последовательности букв, например русского языка, и цифр, с помощью телеграфных кодов преобразуются в определённые комбинации посылок тока. При вводе в вычислительные устройства обычно пользуются преобразованием числовых данных из десятичной системы счисления в двоичную и т.д. (см. Кодирующее устройство ) .
К. в информации теории применяют для достижения следующих целей: во-первых, для уменьшения так называемой избыточности сообщений и, во-вторых, для уменьшения влияния помех, искажающих сообщения при передаче по каналам связи (см. Шеннона теорема ) . Поэтому выбор нового кода стремятся наиболее удачным образом согласовать со статистической структурой рассматриваемого источника сообщений. В какой-то степени это согласование имеется уже в коде телеграфном , в котором чаще встречающиеся буквы обозначаются более короткими комбинациями точек и тире.
Приёмы, применяемые в теории информации для достижения указанного согласования, можно пояснить на примере построения 'экономных' двоичных кодов. Пусть канал может передавать только символы 0 и 1, затрачивая на каждый одно и то же время t. Для уменьшения времени передачи (или, что то же самое, увеличения её скорости) целесообразно до передачи кодировать сообщения таким образом, чтобы средняя длина L кодового обозначения была наименьшей. Пусть х1, х2,..., xn обозначают возможные сообщения некоторого источника, a p1, р2, ..., р2 - соответствующие им вероятности. Тогда, как устанавливается в теории информации, при любом способе К.,
где L ³ Н, (1)
-
энтропия источника. Граница для L в формуле (1) может не достигаться. Однако при любых pi существует метод К. (метод Шеннона - Фэно), для которого
L £ Н + 1 . (2)
Метод состоит в том, что сообщения располагаются в порядке убывания вероятностей и полученный ряд делится на 2 части с вероятностями, по возможности близкими друг к другу. В качестве 1-го двоичного знака принимают 0 в 1-й части и 1 - во 2-й. Подобным же образом делят пополам каждую из частей и выбирают 2-й двоичный знак и т.д., пока не придут к частям, содержащим только по одному сообщению.
Пример 1 . Пусть n 4 и p19/16, р2 р3 3/16, p4 1/16. Применение метода иллюстрируется табл.:
х,
Pi
Кодовое обозначение
х1
9/16
0
х2
3/16
1
0
х3
3/16
1
1
0
х3
1/16
1
1
1
B данном случае L 1,688 и можно показать, что никакой др. код не даёт меньшего значения. В то же время Н 1,623. Всё сказанное применимо и к случаю, когда алфавит нового кода содержит не 2, как предполагалось выше, а m > 2 букв. При этом лишь величина Н в формулах (1) и (2) должна быть заменена величиной H/log2m.
Задача о 'сжатии' записи сообщений в данном алфавите (то есть задача об уменьшении избыточности) может быть решена на основе метода Шеннона - Фэно. Действительно, с одной стороны, если сообщения представлены последовательностями букв длины N из м -буквенного алфавита, то их средняя длина LN после К. всегда удовлетворяет неравенству LN ³ NH/log2т, где Н - энтропия источника на букву. С другой стороны, при сколь угодно малом e > 0 можно добиться выполнения при всех достаточно больших N неравенства
. (3)
С этой целью пользуются К. 'блоками': по данному e выбирают натуральное число s и делят каждое сообщение на равные части - 'блоки', содержащие по s букв. Затем эти блоки кодируют методом Шеннона - Фэно в тот же алфавит. Тогда при достаточно больших N будет выполнено неравенство (3). Справедливость этого утверждения легче всего понять, рассматривая случай, когда источником является последовательность независимых символов 0 и 1, появляющихся с вероятностями соответственно р и q, p ¹ q. Энтропия на блок равна s-кpaтной энтропии на одну букву, т. е. равна sH s ( plog2 1/p+qlog2 1/q ) . Кодовое обозначение блока требует в среднем не более sH + 1 двоичных знаков. Поэтому для сообщения длины N букв LN £(1+ N/s )( sH +1) N ( H +1 /s )(1+ s/N ) , что при достаточно больших s и N/s приводит к неравенству (3). При таком К. энтропия на букву приближается к своему максимальному значению - единице, а избыточность - к нулю.
Пример 2 . Пусть источником сообщений является последовательность независимых знаков 0 и 1, в которой вероятность появления нуля равна р 3/4, а единицы q 1/4. Здесь энтропия Н на букву равна 0,811, а избыточность - 0,189. Наименьшие блоки ( s 2), то есть 00, 01, 10, 11, имеют соответственно вероятности р2 9/16, pq 3/16, qp 3/16, q2 1/16 . Применение метода Шеннона - Фэно (см. пример 1) приводит к правилу К.: 00-0, 01-10, 10-110, 11-111. При этом, например, сообщение 00111000... примет вид 01111100... На каждую букву сообщения в прежней форме приходится в среднем 27/32 0,844 буквы в новой форме (при нижней границе коэффициента сжатия, равной Н 0,811). Энтропия на букву в новой последовательности равна 0,811/0,844 0,961, а избыточность равна 0,039.
К., уменьшающее помехи, превратилось в большой раздел теории информации, со своим собственным математическим аппаратом, в значительной мере чисто алгебраическим (см. Канал , Шеннона теорема и литературу при этих статьях).
Ю. В. Прохоров.