теория, математическая дисциплина, исследующая процессы хранения, преобразования и передачи информации . И. т. - существенная часть кибернетики . В основе И. т. лежит определённый способ измерения количества информации, содержащейся в каких-либо данных ('сообщениях'). И. т. исходит из представления о том, что сообщения, предназначенные для сохранения в запоминающем устройстве или для передачи по каналу связи, не известны заранее с полной определённостью. Заранее известно лишь множество, из которого могут быть выбраны эти сообщения, и в лучшем случае - то, как часто выбирается то или иное из этих сообщений (т. е. вероятность сообщений). В И. т. показывается, что 'неопределённость', с которой сталкиваются в подобной обстановке, допускает количественное выражение и что именно это выражение (а не конкретная природа самих сообщений) определяет возможность их хранения и передачи. В качестве такой 'меры неопределённости' в И. т. принимается число двоичных знаков, необходимое для фиксирования (записи) произвольного сообщения данного источника. Более точно - рассматриваются все возможные способы обозначения сообщений цепочками символов 0 и 1 (двоичные коды), удовлетворяющие условиям: а) различным сообщениям соответствуют различные цепочки и б) по записи некоторой последовательности сообщений в кодированной форме эта последовательность должна однозначно восстанавливаться. Тогда в качестве меры неопределённости принимают среднее значение длины кодовой цепочки, соответствующее самому экономному способу кодирования ; один двоичный знак служит единицей измерения (см. Двоичные единицы ).
Пример. Пусть некоторые сообщения x 1, x 2, x 3 появляются с вероятностями, равными соответственно 1/2, 3/8, 1/8. Какой-либо слишком короткий код, скажем
x 1 0, x 2 1, x 3 01,
непригоден, так как нарушается вышеупомянутое условие б). Так, цепочка 01 может означать x 1, x 2 или x 3. Код
x 1 0, x 2 10, x 3 11,
удовлетворяет условиям а) и б). Ему соответствует среднее значение длины кодовой цепочки, равное
Нетрудно понять, что никакой другой код не может дать меньшего значения, т. е. указанный код - самый экономный. В соответствии с выбором меры неопределенности, неопределенность данного источника сообщении следует принять равной 1,5 двоичной единицы.
Здесь уместно подчеркнуть, что термины 'сообщение', 'канал связи' и т. п. понимают в И. т. очень широко. Так, с точки зрения И. т., источник сообщений описывается перечислением множества x 1, x 2,... возможных сообщений (которые могут быть словами какого-либо языка, результатами измерений, телевизионными изображениями и т. п.) и соответствующих им вероятностей p 1, p 2,...
Нет никакой простой формулы, выражающей точный минимум H- среднего числа двоичных знаков, необходимого для кодирования сообщении x 1, x 2,..., xn через вероятности p 1, p 2,..., pn этих сообщений. Однако указанный минимум не меньше величины
(где log2 a обозначает логарифм числа a при основании 2) и может превосходить её не более чем на единицу. Величина Н (энтропия множества сообщений) обладает простыми формальными свойствами, а для всех выходов И. т., которые носят асимптотический характер, соответствуя случаю H- - ¥, разница между H и H- абсолютно несущественна. Поэтому именно энтропия принимается в качестве меры неопределённости сообщений данного источника. В приведённом выше примере энтропия равна
С изложенной точки зрения, энтропия бесконечной совокупности оказывается, как правило, бесконечной. Поэтому в применении к бесконечным совокупностям поступают иначе. Именно, задаются определённым уровнем точности и вводят понятие e - энтропии, как энтропии сообщения, записываемого с точностью до e, если сообщение представляет собой непрерывную величину или функцию (например, времени); подробнее см. в ст. Энтропия .
Так же как и понятие энтропии, понятие количества информации, содержащейся в одном случайном объекте (случайной величине, случайном векторе, случайной функции и т. д.) относительно другого, вводится сначала для объектов с конечным числом возможных значений. Затем общий случай изучается при помощи предельного перехода. В отличие от энтропии, количество информации, например, в одной непрерывно распределённой случайной величине относительно другой непрерывно распределённой величины очень часто оказывается конечным.
Понятие канала связи (см. Канал ) в И. т. носит весьма общий характер. По сути дела, канал связи задаётся указанием множества 'допустимых сообщений' на 'входе канала', множеством 'сообщений на выходе' и набором условных вероятностей получения того или иного сообщения на выходе при данном входном сообщении. Эти условные вероятности описывают влияние 'помех', искажающих передаваемые сообщения, 'Присоединяя' к каналу какой-либо источник сообщений, можно рассчитать количество информации относительно сообщения на входе, содержащееся в сообщении на выходе. Верхняя грань таких количеств информации, взятая по всем допустимым источникам, называется пропускной способностью (ёмкостью) канала. Ёмкость канала - его основная информационная характеристика несмотря на влияние (возможно сильное) помех в канале, при определённом соотношении между энтропией поступающих сообщений и пропускной способностью канала возможна почти безошибочная передача (при надлежащем кодировании, см. Шеннона теорема ).
И. т. отыскивает оптимальные, в смысле скорости и надежности, способы передачи информации, устанавливая теоретические пределы достижимого качества. Как видно из предыдущего, И. т. носит существенно статистический характер, и поэтому значительная часть ее математических методов заимствуется из теории вероятностей.
Основы И. т. были заложены в 1948-49 американским ученым К. Шенноном. В ее теоретические разделы внесен вклад советским учеными А. Н. Колмогоровым и А. Я. Хинчиным, а в разделы, соприкасающиеся с применениями, - В. А. Котельниковым, А. А. Харкевичем и др.
Лит.: Яглом А. М., Яглом И. М., Вероятность и информация, 2 изд., М., 1960; Шэннон К., Статистическая теория передачи электрических сигналов, в кн.: Теория передачи электрических сигналов при наличии помех. Сб. переводов, М., 1953; Голдман С., Теория информации, пер. с англ., М., 1957; Теория информации и её приложения. Сб. переводов, М., 1959; Хинчин А. Я., Понятие энтропии в теории вероятностей, 'Успехи математических наук', 1953, т. 8, в. 3; Колмогоров А. Н., Теория передачи информации, М., 1956, (АН СССР. Сессия по научным проблемам автоматизации производства. Пленарное заседание); Питерсон У. У., Коды, исправляющие ошибки, пер. с англ., М., 1964.
Ю. В. Прохоров.