? Предположим, что на плоскости даны две точки F и F 1 . Геометрическое место точки М, для которой сумма расстояний MF и MF 1 ? величина постоянная, есть кривая линия, называемая Э. Точки F и F 1 суть фокусы. Если в точке F ила F 1 поместить источник света, то лучи после отражения от дуги Э. соберутся в F 1 или F. Отсюда и происходит название фокус (очаг, foyer, Brennpunkt). Точка О , делящая прямолинейный отрезок FF 1 пополам, есть центр кривой. Это значит, что в точке О делится пополам всякая хорда, проходящая через эту точку. Введем обозначения: MF + MF 1 = 2а , FF 1 = 2с , b = v (а 2 ?с 2 ). Если начало координат возьмем в точке O , ось x -ов направим по линии FF 1 , ось у -ов по перпендикуляру к FF 1 , то уравнение Э. будет
x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 .
Вид этой кривой изображен дстаточно описан. Отложим по оси х -ов расстояние OD , равное а 2 /c , в ту сторону, где находится точка F, и проведем прямую DE перпендикулярно к оси x -ов. Эта прямая называется директриссой. Расстояние M до этой прямой обозначим через MP. Для всякой точки M Э. отношение MF/MP есть величина постоянная, называемая эксцентриситетом и обозначаемая буквой е . В нашем случае е = с/а . Это показывает, что для Э. е < 1. По другую сторону центра лежит фокус F 1 и соответствующая ему директрисcа D 1 E 1 . Точки пересечения Э. с осью х -ов (на ней находятся фокусы) обозначим через А и a 1 , а с осью у -ов через В и В 1 . В таком случае
АА 1 = 2а , ВВ 1 = 2b .
АА 1 назыв. большой осью Э., а ВВ 1 ? малой осью. Точки A , А 1 , B , B 1 назыв. вершинами Э. Мы предполагаем, что А и В находятся на положительных частях осей координат, а А 1 и B 1 ? на отрицательных. Если начало координат перенесем в А 1 и сохраним прежнее направление осей координат, то уравнения Э. будет
у 2 = 2px + qx 2 ,
где p = b 2 /a 2 , q = ? b 2 /a 2 . Число 2р называется параметром.
Уравнение
r = p/(1 + eCos ?)
выражает Э. относительно полярной системы координат, причем полюс находится в фокусе, а полярная ось проходит через вершину Э. При пересечении конуса плоскостью, удовлетворяющей некоторым условиям, получется Э. См. Конические сечения (см.).
Д. С.