Значение слова УГОЛ* в Энциклопедии Брокгауза и Ефрона

УГОЛ*

(мат.). ? Если из точки О на данной плоскости проведем прямые ОА и 0 В , то получим угол АОВ (черт. 1).

Черт. 1.

Точка 0 наз. вершиною угла, а прямые ОА и 0 В сторонами угла.

Предположим, что даны два угла ??? и ? 1 ? 1 ? 1 . Наложим их так, чтобы вершины О и 0 1 совпали и чтобы сторона O 1 A 1 совпала со стороной ОА. Если при этом сторона О 1 В 1 совпадет со стороной 0 В , то говорят, что углы ??? и В 1 О 1 А 1 равны.

Черт. 2.

Если сторона О 1 В 1 пойдет внутри угла BOA (черт. 2), то угол АОВ больше угла В 1 О 1 А 1 . Если же чертеж имеет вид (черт. 3), то угол АОВ меньше угла А 1 О 1 В 1 .

Черт. 3.

Два угла, имеющие общую вершину и общую сторону, наз. прилежащими , таковы, напр., углы АОВ и BOC (черт. 4).

Черт. 4.

Стороны ОА и ОС наз. внешними сторонами прилежащих углов.

Смежными углами наз. такие прилежащие углы, внешние стороны которых составляют одну прямую (черт. 5).

Черт. 5.

Угол наз. прямым , если он равен углу смежному из ним (черт. 6).

Говорят, что прямая ОВ (черт. 6) перпендикулярна к прямой СА , если она образует равные смежные углы АОВ и СОВ.

Черт. 6.

Все прямые углы равны между собой. Угол больший прямого наз. тупым , а меньший прямого ? острым. Если построим два прилежащих угла так, чтобы один из них равнялся углу АОВ , а другой углу А 1 О 1 В 1 , то внешние стороны этих прилежащих углов образуют угол равный сумме углов АОВ и ? 1 ? 1 ? 1 .

Сумма смежных углов равна двум прямым.

Если из точки О на плоскости проведем несколько лучей, напр. ОА , ОВ , ОС , OD и OE (черт. 7), то получим углы ВОА , ВОС , COD , DOE и ЕОА , сумма которых равна четырем прямым.

Черт. 7.

Две пересекающиеся прямые AB и CD (черт. 8) образуют четыре угла a , b , с , d .

Черт. 8.

Из них а и b смежные; углы же а и d или же b и с наз. вертикальными. Существуют равенства:

а = d и b = с.

Черт. 9.

Углы, образованные двумя прямыми AB и CD при пересечении третьей прямою EF (черт. 9) имеют особые названия.

Tакие углы, как а и е , называются соответственными

Tакие углы, как с и f , называются внутренними накрест лежащими

Tакие углы, как a и h , называются внешними накрест лежащими

Tакие углы, как c и e , называются внутренними односторонними

Tакие углы, как a и g , называются внешними односторонними.

Для того чтобы прямые AB и CD были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы имело место одно из равенств вида

a = е , с = f , a = h , с + е = двум прямым, а + g = двум прямым.

Представим себе круг, в центре которого О находится вершина угла. Если стороны угла проходит через точки А и B , лежащие на окружности, то угол А ОВ измеряется дугою AB. Мерою угла служит отвлеченное число, равное отношению дуги AB к радиусу круга. Угол выражают также в градусах. Если, напр., угол АОВ содержит один градус, то это значит, что дуга AB составляет одну 360-ую часть окружности.

Угол, вершина которого находится в центре круга, наз. центральным. Если же вершина угла находится на окружности в точке А , а стороны проходят через точки В и С , лежащие на окружности, то угол ВАС называется вписанным. Этот угол измеряется половиною дуги ВС. Если же вершина угла находится вне круга, а стороны AB и АС касаются круга в точках В и С , то угол называется описанным. Он измеряется полуразностью дуг, заключенных между его сторонами.

Две прямые на плоскости или пересекаются, или параллельны. В пространстве прямые могут не пересекаться и в то же время не быть параллельными. Предположим, что прямые а и b не пересекаются и не параллельны. Углом между этими прямыми назыв. тот угол, который получим, проведя из какой-нибудь точки пространства О прямые ОА и ОВ , параллельные прямым а и b.

Предположим, что прямая AB пересекает плоскость P в точке А (черт. 10).

Черт. 10.

Если окажется, что две прямые АС и AD , проведенные на плоскости P через точку А , перпендикулярны к AB , то и всякая прямая АЕ , находящаяся в плоскости Р , будет перпендикулярна к AB. В этом случае говорят, что прямая AB перпендикулярна к плоскости Р.

Две пересекающиеся плоскости образуют двугранный угол. Линия пересечения этих плоскостей назыв. ребром двугранного угла; плоскости, образующие угол, назыв. сторонами угла.

Предположим, что плоскости АР и BQ пересекаются по прямой AB (черт. 11).

Черт. 11.

Возьмем на ребре AB какую-нибудь точку С и проведем в плоскостях АР и BQ прямые CD и СЕ , перпендикулярные к AB. Получим угол ECD , который назыв. линейным углом двугранного угла QABP.

Двугранный угол измеряется соответствующим ему линейным У. Если угол ECD (черт. 11) прямой, то и двугранный У. прямой. В этом случае говорят, что плоскость АР перпендикулярна к плоскости BQ.

Если прямая AB перпендикулярна к плоскости P (черт. 10), то всякая плоскость, проходящая через AB , будет перпендикулярна к плоскости Р.

Предположим, что дана плоскость P и прямая AB (черт. 12).

Черт. 12.

Проведем через AB плоскость, перпендикулярную к Р. Пусть эти плоскости пересекаются по прямой CD. Углом прямой AB с плоскостью P назыв. угол, образованный прямыми AB и CD.

Несколько плоскостей, проходящих через точку О и пересекающихся по прямым О А , 0 В , ОС , OD и ОЕ , образуют многогранный угол , точка О назыв. вершиной , плоскости BOA , COB , DOC , EOD и ЕОА ? гранями , прямые ОА , ОВ , ОС , OD и ОЕ ? ребрами , углы BOA , COB , DOC , EOD и ЕОА ? плоскими углами многогранного угла.

Многогранный угол назыв. выпуклым , если он весь расположен по одну сторону каждой из его граней.

В трехгранном угле каждый плоский угол меньше суммы двух других плоских углов. Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 4-х прямых.

Д. С.

Брокгауз и Ефрон. Энциклопедия Брокгауза и Ефрона. 2012