или начало Гамильтона ? в механике и математической физике служит для получения дифференциальных уравнений движения. Этот принцип распространяется на всякие материальные системы, каким бы силам они ни были подвержены; сначала мы выскажем его в том виде, какой он принимает, если силы имеют потенциал, зависящий или не зависящий от времени явным образом.
Пусть q 1 , q 2 , q 3 ... независимые координаты, или координатные параметры, определяющие положение материальной системы; положим, k есть число этих параметров. Пусть U есть потенциал сил, действующих на систему; U есть функция от q 1 , q 2 , q 3 ... и может быть еще и функцией от t. Пусть Т означает живую силу материальной системы; это есть функция от t , q 1 , q 2 , q 3 ... и от производных
dq 1 /dt, dq 2 /dt, dq 3 /dt,...
относительно этих производных Т есть функция второй степени.
Если бы вопрос о движении системы при действии данных сил был решен, то координаты q выражались бы функциями времени t и 2k произвольных постоянных С 1 , С 2 , С 3 , ...; пусть эти функции будут: f 1 , f 2 , f 3 , ...
Составим сумму T + U, которую обозначим через L. Согласно вышесказанному, это есть функция от t, координат q и их производных q '; но если мы подставим вместо q 1 , q 2 , q 3 ... соответствующие им функции f 1 , f 2 , f 3 , ..., а вместо производных q' 1 , q' 2 , ... производные по t от соответствующих функций f , то L обратится в функцию от t и от 2k произвольных постоянных С .
Предположив, что L выражена таким образом, возьмем интеграл от Ldt между произвольными пределами: нижним t 1 и верхним t 2 ; полученный интеграл, который обозначим через S:
будет функцией от t 2 , t 1 и величины С .
Предположим, что положения материальной системы в моменты t 1 и t 2 вполне обозначены, так что координаты q имеют определенные значения для момента t 1 и другие определенные значения для момента t 2 , тогда по этим 2k данным найдется по меньшей мере одна совокупность значений 2k величин С 1 , С 2 , С 3 , ...; обозначим найденные величины малыми с 1 , с 2 , с 3 , ....
Под влиянием данных сил материальная система перейдет из данного первого положения в положение второе по таким путям, на которых вышесказанные величины С будут сохранять постоянные значения с 1 , с 2 , с 3 ...; эти пути или этот путь системы условимся называть прямым путем.
Однако есть возможность перевести ту же материальную систему из первого положения во второе в течение времени ( t 2 - t 1 ) по другому, окольному, пути; для этого надо присоединить к данным силам еще новые силы или же сообщить ей во время движения ряд толчков. Так как добавочные силы или толчки могут быть бесконечно разнообразны, то и окольные пути будут столь же разнообразны. На каждом из окольных путей C будут уже не постоянны, но будут изменяемы с течением движения в зависимости от вида окольного пути; но только они должны будут иметь значения с 1 , с 2 , с 3 , .... в конечных положениях системы ? первом и втором.
Предположим, что будем рассматривать окольные пути бесконечно мало отличающиеся от прямого; тогда значения С на этих путях будут отличаться от постоянных с 1 , с 2 , с 3 , .... на ничтожно малые величины ? С 1 , ? С 2 , ? С 3 , которые мы назовем вариациями этих постоянных. Вариации ? С 1 , ? С 2 , ? С 3 ,... суть функции от t произвольного вида, обращающиеся в нуль при t 1 и t 2 и имеющие ничтожно малые величины при промежуточных значениях t .
Если постоянные С получают вариации на окольных путях, то и величина S варьируется. Принцип Гамильтона состоит в том , что вариация первого порядка интеграла S равна нулю для всяких окольных путей, бесконечно мало отличающихся от прямого.
Равенство ? S= 0 может быть представлено следующим образом:
причем вариации от Т и U можно представить в виде сумм:
? T = ? ( dT / dq') ? q' + ? ( dT / dq) ? q
? U = ? ( dU / dq) ? q.
Поступив с равенством (II) так, как объяснено в статье "Вариационное исчисление" (см.), получим из равенства (II), выражающего принцип Гамильтона, Лагранжевы дифференциальные уравнения движения рассматриваемой материальной системы, т. е. уравнения:
d/dt[dL/dq 1 '] = dL/dq 1
d/dt[dL/dq 2 '] = dL/dq 2 и проч.
Подробнее о начале Гамильтона см. С. G. J. Jacobi, "Vorlesungen u ber Dynamik" (1866), или в полном издании сочинений Якоби, Supplementband.
Равенство ? S = 0 выражает, что интеграл S есть minimum, maximum или minimax; для суждения о том, который из этих случаев имеет место, надо составить и определить знак вариации второго порядка от S.
Принцип Гамильтона имеет меcто и тогда, когда силы не имеют потенциала; он тогда выражается так:
где Q есть составляющая сил по координатному параметру q. О применении этого принципа к составлению дифференциальных уравнений гидродинамики и теории упругости см. Kirchhoff, "Vorlesungen uber mathematische Physik", "Mechanik" (1874); "Mathematical papers of the late George Green" (1871).
Д. Б.