говорят о лисе, которая мышкует, обегать известное пространство. Идти с кем обмышку нареч. об руку, под руку, под ручку. Лошадь обмышатела, стала мышастой масти, выцвела, перешерстилась.
Значение слова ОБМЫШКОВАТЬ в Словаре Даля
Что такое ОБМЫШКОВАТЬ
Даль. Словарь Даля. 2012