Отчество от прозвища Шишига. Общераспространенное слово шишига означало “бес домовой”, затем стало просто бранным словом без какого-либо конкретного значения.
Значение слова ШИШИГИН в Словаре русских фамилий
Что такое ШИШИГИН
Словарь русских фамилий. 2012