В русских говорах Поволжья и Урала записан глагол минать — “мять”, от него могли образовать прозвище Минака, отчество от которого — минакин — стало фамилией (однако такое происхождение может считаться только предположительным).
Значение слова МИНАКИН в Словаре русских фамилий
Что такое МИНАКИН
Словарь русских фамилий. 2012