решения уравнений, решения, описывающие правильно повторяющиеся процессы. Для теории колебаний, небесной механики и др. наук особый интерес представляют П. р. системы дифференциальных уравнений
, i 1,..., n (1)
Это такие решения yi ji ( t ), которые состоят из периодических одного и того же периода функций независимого переменного t , то есть для всех значений t
ji( t + t ) j i ( t )
где t > 0-период решения. Если система (1) стационарна, то есть функции fi Fi ( yi ,.... yn ), где i 1,..., n ,явным образом не зависят от t , то в фазовом пространстве ( yi ,..., yi ) П. р. отвечают замкнутые траектории. В частном случае эти траектории могут вырождаться в точки покоя , где , которым соответствуют тривиальные (постоянные) П. р. Что касается нетривиальных П. р., то задача о нахождении их решена лишь для дифференциальных уравнений специальных типов.
В теории нелинейных колебаний особое значение имеет система двух уравнений
, (2)
фазовым пространством которой является плоскость ( х , у ) . Точки покоя системы ( 2 ) находятся из системы уравнений: Р ( х , у ) 0, Q ( x , у ) 0 . Система ( 2 ) заведомо не допускает нетривиальных П. р., если (критерий Бендиксона). Обычным приёмом обнаружения нетривиальных П. р. системы ( 2 ) (если они существуют) является построение такой ограниченной кольцеобразной области K (см. рис. ), что все траектории входят в неё при t - +¥ или при t - -¥ ; если область К не содержит точек покоя системы ( 2 ), то в К обязательно найдётся замкнутая траектория, которой соответствует нетривиальное П. р. (принцип Пуанкаре - Бендиксона). Другой подход к обнаружению П. р. даёт изучение поведения решений в окрестностях особых точек; именно, в окрестности центра интегральные кривые системы ( 2 ) замкнуты и им соответствуют нетривиальные П. р.
Лит.: Немыцкий В. В. и Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.- Л., 1949; Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э., Теория колебаний, 2 изд., М., 1959; Стокер Дж., Нелинейные колебания в механических и электрических системах, пер. с англ., 2 изд., М., 1953.