Значение ПЕРЕВАЛА МЕТОД в Большой советской энциклопедии, БСЭ

ПЕРЕВАЛА МЕТОД

метод, метод нахождения асимптотических выражений некоторых интегралов. Многие специальные функции (например, цилиндрические функции , сферические функции и др.) выражаются интегралами вида

(*)

где f ( t ) u ( х, у ) + iu ( x, y ) - аналитическая функция от t х + iy такая, что u ( х, у ) стремится к - ¥ при приближении к концам контура С . Для вычисления этих интегралов при больших положительных значениях z применяется П. м. Он состоит в том, что контур С деформируют в контур C', имеющий те же концы, что и С , и проходящий через нуль t0 функции f' ( t ) по кривой вида u ( x, y )const (по теореме Коши значение интеграла не меняется при деформации контура). На поверхности t u ( х, у )контур C' изобразится путём, проходящим через точку перевала этой поверхности (отсюда название метода) так, что по обе стороны этой точки путь как можно более круто спускается к большим отрицательным значениям u ( х, у ) . Поэтому при действительном положительном z существенное влияние на значение интеграла (*) оказывает лишь ближайшая окрестность точки t0 , и это обстоятельство может быть использовано для получения асимптотического выражений интеграла, например заменой функции f ( t ) в окрестности точки то отрезком её ряда Тейлора.

П. м., как правило, даёт возможность найти весь асимптотический ряд для интеграла (*).

Если подинтегральная функция многозначна, то при деформации контура приходится считаться с разрезами, возникающими в результате неоднозначности, и часть пути направлять вдоль разрезов. П. м. применяется и к вычислению интегралов вида

.

Лит.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, 8 изд., т. 3, ч. 2, М., 1969.

Большая советская энциклопедия, БСЭ.