направление в основаниях математики и философии математики, основным тезисом которого является утверждение о 'сводимости математики к логике', т. е. возможности (и необходимости) определения всех исходных математических понятий (в рамках самой математики не определяемых) в терминах 'чистой' логики и доказательства всех математических предложений (в том числе аксиом) опять-таки логическими средствами. Идеи Л. были выдвинуты ещё Г. В. Лейбницем , но в развёрнутом виде эта доктрина впервые была сформулирована Г. Фреге , предложившим сведение основного математического понятия - понятия натурального числа - к объёмам понятий и детально разработавшим логическую систему, средствами которой удавалось доказать все теоремы арифметики. Поскольку к тому времени в математике была практически завершена работа по сведению (в том же смысле, что и выше) основных понятий математического анализа, геометрии и алгебры к арифметике (посредством частичного сведения их друг к другу и выражения их понятий в терминах множеств теории ) , то, как считал Фреге, логицистическая программа была тем самым в основном выполнена.
Но ещё до выхода в свет 2-го тома работы Фреге 'Основные законы арифметики' (1893-1903) Б. Рассел обнаружил в системе Фреге противоречие (называемое обычно парадоксом Рассела, см. Парадокс ) . Сам Рассел, однако, разделял основные тезисы программы Л.; он предпринял попытку 'исправления' системы Фреге и 'спасения' её от противоречий. Решение этой задачи потребовало большой работы по последовательной и детальной формализации не только математики, но и кладущейся в её основание (согласно программе Л.) логики. Итогом этой работы явился написанный Расселом (совместно с А. Н. Уайтхедом ) трёхтомный труд 'Principia Mathematica' (1910-13). Главным новшеством системы Рассела - Уайтхеда (ниже РМ) явилось построение логики в виде 'ступенчатого исчисления', или 'теории типов'. Формальные объекты этой теории разделялись на т. н. типы (ступени), и эта 'иерархия типов' (а в др. модификациях системы РМ - ещё дополнительная 'иерархия уровней') позволила избавиться от всех известных парадоксов. Однако для построения классической математики средствами РМ к этой системе пришлось присоединить некоторые аксиомы (см. Типов теория ) , содержательно характеризующие важные свойства данного конкретного 'мира математики' (и, конечно, соответствующего ему мира реальных вещей), а вовсе не являющиеся 'аналитическими истинами', или, по Лейбницу, истинами, верными 'во всех возможных мирах'. Итак, не вся расселовская математика выводима из логики. Но более того, эта математика и не есть вся математика: как показал К. Гёдель (1931), системы типа РМ (и все, не уступающие им по силе) существенно неполны - их средствами всегда можно сформулировать содержательно истинные, но не разрешимые (не доказуемые и не опровержимые) математические утверждения (см. Аксиоматический метод , Метаматематика ) .
Т. о., программа Л. 'чисто логического' обоснования математики оказалась невыполнимой. Тем не менее и результаты Рассела, и работы др. учёных, предложивших позднее различные усовершенствования системы РМ (например, работы американского математика У. ван О. Куайна), оказали громадное положительное влияние на развитие математической логики и науки в целом, способствуя формированию и уточнению ряда важнейших логико-математических и общеметодологических идей и построению соответствующего точного математического аппарата.
Лит.: Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, гл. 3; Френкель А., Бар-Хиллел И., Основания теории множеств, пер. с англ., М., 1966, гл. 3 .
Ю. А. Гастев.