1) то же, что математический комбинаторный анализ . 2) Раздел элементарной математики, связанный с изучением количества комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, которые можно составить из заданного конечного множества объектов (безразлично, какой природы; это могут быть буквы, цифры, какие-либо предметы и т.п.).
Наиболее употребительные формулы К.:
Число размещений. Пусть имеется n различных предметов. Сколькими способами можно выбрать из них т предметов (учитывая порядок, в котором выбираются предметы)- Число способов равно
Anm
Anm называют числом размещений из n элементов по m.
Число перестановок. Рассмотрим задачу: сколькими способами можно установить порядок следования друг за другом n различных предметов- Число способов равно
Pn 1Ч2Ч 3.. . nn!
(знак n! читается: ' n факториал'; оказывается удобным рассматривать также 0!, полагая его равным 1). Pn называют числом перестановок n элементов.
Число сочетаний. Пусть имеется n различных предметов. Сколькими способами можно выбрать из них т предметов (безразлично, в каком порядке выбираются предметы)- Число способов такого выбора равно
Cnm
Cnm называют числом сочетаний из n элементов по m. Числа Cnm получаются как коэффициенты разложения n-й степени двучлена (бинома, см. Ньютона бином ) :
(a+b) nCn0 an + Cn1 an-1b +Cn2an-2b2 +... + Cnn-1abn-1 + Cnn bn ,
и поэтому они называются также биномиальными коэффициентами. Основные соотношения для биномиальных коэффициентов:
CnmCnn-m, Cnm + Cnm+1 Cn+1m+1
Cn0 + Cn1 + Cn2 +...+ Cnn-1 + Cnn 2 n ,
Cn 0 - Cn 1 + Cn 2-...+ (-1) nCnn 0.
Числа Anm, Pm и Cnm связаны соотношением:
AnmPm Cnm.
Рассматриваются также размещения с повторением (т. е. всевозможные наборы из m предметов n различных видов, порядок в наборе существен) и сочетания с повторением (то же, но порядок в наборе не существен). Число размещений с повторением даётся формулой nm, число сочетаний с повторением - формулой Cmn + m -1.
Основные правила при решении задач К.: Правило суммы. Пусть некоторый предмет А может быть выбран из совокупности предметов m способами, а другой предмет В можно выбрать n способами. Тогда имеется т + n возможностей выбрать либо предмет A, либо предмет В.
Правило произведения. Пусть предмет А можно выбрать m способами и после каждого такого выбора предмет В можно выбрать n способами; тогда выбор пары ( А, В ) в указанном порядке можно осуществить m + n способами.
Принцип включения и исключения. Пусть имеется N предметов, которые могут обладать n свойствами a1, a2,..., a n. Обозначим через N (a i, a j, ..., ak) число предметов, обладающих свойствами ai , a j,..., ak и, быть может, какими-либо другими свойствами. Тогда число N' предметов, не обладающих ни одним из свойств, a1, a2,..., an , даётся формулой
N-N (a 1 ) - N (a 2 ) -... -N (a n ) + N (a 1, a 2 ) + N (a 1, a 3 ) +... + N (a n-1, a n ) - N (a 1, a 2, a 3 )-... - N (a n-2, a n-1, a n ) +... +(-1) n N (a 1 ,..., a n )
Лит.: Netto E. Lehrbuch der Combinatorik, 2 Aufl., Lpz. - B., 1927.
В. Е. Тараканов.