принцип, принцип, формулируемый в некоторых разделах математики и заключающийся в том, что каждому верному утверждению этого раздела отвечает двойственное утверждение, которое может быть получено из первого путём замены входящих в него понятий на другие, т. н. двойственные им понятия.
1) Д. п. формулируется в проективной геометрии на плоскости. При этом двойственными понятиями являются, например, 'точка' и 'прямая', 'точка лежит на прямой' и 'прямая проходит через точку'. Каждой аксиоме в проективной геометрии на плоскости формулируется двойственное предложение, которое может быть доказано с помощью этих же аксиом (этим обосновывается Д. п. в проективной геометрии на плоскости). Двойственными утверждениями в проективной геометрии на плоскости являются известные теоремы Паскаля и Брианшона. Первая из этих теорем утверждает, что во всяком шестивершиннике, вписанном в линию 2-го порядка, точки пересечения противоположных сторон лежат на одной прямой ( рис. 1 ). Вторая теорема утверждает, что во всяком шестистороннике, описанном около линии 2-го порядка, прямые, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке ( рис. 2 ).
2) Д. п. в абстрактной теории множеств. Пусть дано множество М. Рассмотрим систему всех его подмножеств А, В, С и т.д. Справедливо следующее предложение: если верна теорема о подмножествах множества М, которая формулируется лишь в терминах операций суммы, пересечения и дополнения, то верна также и теорема, получающаяся на данной путём замены операции суммы и пересечения соответственно операциями пересечения и суммы, пустого множества L - всем множеством М, а множества М - пустым множеством L. При этом дополнение суммы заменяется пересечением дополнений, а дополнение пересечения - суммой дополнений.
Пример 1 . Верному соотношению
( A È В ) Ç С ( A Ç С ) È ( ВÇ С )
двойственно соотношение (также верное)
( АÇ B ) È C ( A È С ) Ç ( В È С )
Пример 2 . Верному соотношению
(AÈB)È(AÇ`B) M
двойственно соотношение (также верное)
(AÇ `B)Ç(АÈ В) L ,
где A , `B - дополнения множеств А, В во множестве М,А Ç В - сумма множеств А и В, A Ç В- их пересечение.
3) Д. п. имеет место в математической логике (в исчислении высказываний и в исчислении предикатов).
4) О топологических законах двойственности см. Топология .
Лит.: Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 4 изд., М., 1961; Александров П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, М. - Л., 1948; Гильберт Д. и Аккерман В., Основы теоретической логики, пер. с нем., М., 1947.