? Функция f ( x ) непрерывна при х = а , если при приближении х к а предел функции f ( x ) равен f ( a ); в этом случае lim f ( х ) = f (lim х ) . Если же это равенство не оправдывается, то говорят, что функция f ( x ) претерпевает разрыв при x=а.
Р. может появиться в следующих случаях: 1) если lim f ( x ) не существует; 2) если lim f ( x ) существует, но функция f ( x ) не имеет смысла при x = а; 3) если lim f ( x ) и f ( a ) существуют, но lim f ( x ) не = f (а).
Приведем несколько примеров.
Функция sin(1/ x ) ? претерпевает разрыв при х = 0, так как эта функция при уменьшении численного значения х не стремится ни к какому пределу.
Функция (sin x )/ x разрывна при х = 0, так как эта функция не имеет смысла при х = 0. Обыкновенно такой разрыв уничтожают, пользуясь тем, что lim[(sin x )/ x ] = 1. С этой целью функцию определяют двумя равенствами.
f ( x ) = (sin x )/ x при х не = 0, f (0) = 1.
Такая функция f ( х ) непрерывна при х = 0.
Числовая функция f ( s ) = Ex , выражающая целую часть числа х , разрывна при всяком целом значении х . Если, например, х = n , то при положительном бесконечно малом h : lim f ( n ? h ) = n ?1, но f ( n ) = n ; значит lim f ( x ) не = f (lim х ).