? между точками, лежащими на двух прямых, а также между прямыми линиями, проходящими через две точки, можно установить такое однозначное соответствие, что каждой точке одной прямой будет соответствовать одна вполне определенная точка другой, а также в другом случае ? прямой линии, принадлежащей к пучку прямых линий, проходящих через первую точку, будет соответствовать вполне определенная прямая пучка, проходящего через другую точку. Такое соответствие двух прямолинейных рядов точек, а также двух пучков называется гомографическим, или проективным. В каждом прямолинейном ряде точек можно поставить определение каждой точки в зависимости от указания численного значения некоторого переменного параметра ? . За этот переменный параметр может быть принято, например, расстояние переменной точки ряда от некоторой определенной точки, принимаемой за начало счета расстояний, причем расстояния эти считаются положительными в одну сторону от начала и отрицательными в другую. В другом прямолинейном ряду точек положение точки может быть определено заданием другого параметра ? . Для того, чтобы между двумя указанными рядами, определяемыми параметрами ? и ?, существовала гомографическая зависимость, необходимо, чтобы между этими параметрами была зависимость первой степени относительно каждого из них. Такая зависимость в самом общем виде может быть выражена уравнением:
A ?? + B ? + C ? + D = 0.
Это уравнение содержит четыре коэффициента А, В, С, D, или, точнее, три отношения трех из числа этих коэффициентов к четвертому, а потому гомографическая зависимость, выражаемая уравнением, определится вполне задание? трех пар соответствующих элементов ( ? 1 , ? 1 ) ( ? 2 , ? 2 ) ( ? 3 , ? 3 ), тогда каждой четвертой точке ? 4 будет соответствовать вполне определенное ? 4 . Покажем зависимость между четырьмя парами соответственных элементов двух родов.
Получаются четыре уравнения:
A ?? 1 + В ? 1 + С ? 1 + D = 0
А ? 2 ? 2 + В ? 2 + С ? 2 + D = 0
А ? 3 ? 3 + В ? 3 + C ? 3 + D = 0
A X 4 ? 4 + B ? 4 + C ? 4 + D = 0
Исключая из этих четырех уравнений четыре коэффициента А, В, С, D, получим окончательно зависимость:
[( ? 1 - ? 3 )/( ? 2 - ? 3 )]/[( ? 1 - ? 4 )/( ? 2 - ? 4 )] = [( ? 1 - ? 3 )/( ? 2 ? ? 3 )]/[( ? 1 ? ? 4 )/( ? 2 ? ? 4 )];
выражение, стоящее в первой части этого уравнения, называется ангармоническим отношением (см. Ангармоническое отношение). Отсюда мы замечаем, что два прямолинейных ряда точек находятся в гомографической зависимости, когда ангармоническое отношение всяких четырех элементов первого ряда равно ангармоническому отношению соответственных элементов второго. То же самое относится и до гомографической зависимости двух пучков прямых линий, а также и до зависимости между рядами точек, с одной стороны, и пучками линий, с другой. Если мы соединим точки прямолинейного ряда с некоторою точкою плоскости, лежащей вне этого ряда, прямыми линиями, то получим пучок линий, гомографически связанный с заданным рядом точек. Г. играет большую роль в новой геометрии (см. Chasles, "Traite de Geometrie superieure) и может быть распространена на геометрию трех измерений. Особенный интерес представляют гомографические ряды точек, расположенные на одной оси, а также гомографические пучки прямых, имеющие общую вершину. Рассмотрим два ряда точек, лежащих на одной оси, гомографическая зависимость которых определяется уравнением A ?? + В ? + С ? + D = 0. Такие два ряда точек имеют пару двойных точек, определяемых уравнением А х 2 + (В + С) х + D = 0. Эти точки могут быть действительными, совпадающими или мнимыми. Если В = С, то получается частный случай Г., называемый инволюцией.
Д. Граве.