Значение слова ТЕОРЕМА в Большой советской энциклопедии, БСЭ

ТЕОРЕМА

(греч. theorema, от theoreo - рассматриваю, исследую), предложение некоторой дедуктивной теории (см. Дедукция ) , устанавливаемое при помощи доказательства . Каждая дедуктивная теория (математика, многие её разделы, логика, теоретическая механика, некоторые разделы физики) состоит из Т., доказываемых одна за другой на основании ранее уже доказанных Т.; самые же первые предложения принимаются без доказательства и являются, таким образом, логической основой данной области дедуктивной теории; эти первые предложения называют аксиомами .

В формулировке Т. различают условие и заключение. Например, 1) если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3, или 2) если в треугольнике один из углов прямой, то оба других - острые; в каждом из этих примеров после слова 'если' стоит условие Т., а после слова 'то' - заключение. В такой форме можно высказать каждую Т. Например, Т.: 'всякий вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, прямой', можно высказать так: 'если вписанный в окружность угол опирается на диаметр, то он прямой'.

Для каждой Т., высказанной в форме 'если... то...'. можно высказать ей обратную теорему , в которой условие является заключением, а заключение - условием. Прямая и обратная Т. взаимно обратны. Не всякая обратная Т. оказывается верной; так, для примера 1) обратная Т. верна, а для примера 2) - очевидно неверна. Справедливость обеих взаимно обратных Т. означает, что выполнение условия любой из них не только достаточно, но и необходимо для справедливости заключения (см. Необходимые и достаточные условия ) .

Если заменить условие и заключение Т. их отрицаниями, то получится Т., называемая противоположной данной (см. Противоположная теорема ) , она равносильна обратной Т. Точно так же и Т., обратная противоположной, равносильна исходной Т. (прямой). Поэтому доказательство прямой Т. можно заменить доказательством того, что из отрицания заключения данной Т. вытекает отрицание её условия. Этот метод, называемый доказательством от противного , или приведением к абсурду, является одним из наиболее употребительных приёмов математических доказательств.

Большая советская энциклопедия, БСЭ.