Значение РИТЦА И ГАЛЁРКИНА МЕТОДЫ в Большой советской энциклопедии, БСЭ

РИТЦА И ГАЛЁРКИНА МЕТОДЫ

и Галёркина методы, широко распространённые прямые методы решения главным образом вариационных задач и краевых задач математического анализа (см. Краевые задачи , Вариационное исчисление ) .

Метод Ритца применяется большей частью для приближённого решения вариационных задач и тех краевых задач, которые сводятся к вариационным. Пусть задан функционал V [ y ( x )] (или более сложный функционал) и требуется найти такую функцию у ( х ) , принимающую в точках x0 и xi заданные значения a у ( х0 ) и b у ( х1 ) , на которой функционал V [ y ( x )] будет достигать экстремума . Значения исследуемого на экстремум функционала V [ y ( x )] рассматриваются не на всех допустимых в данной задаче функциях у ( х ) , а лишь на всевозможных линейных комбинациях вида

с постоянными коэффициентами ai , составленных из n первых функций некоторой выбранной системы j1( x ) , j2( х ) ,..., j п ( х ) ,... (от удачного выбора этой системы функций зависит эффективность применения метода к решению конкретных задач). Необходимым условием выбора системы функций j1( х ) является требование, чтобы функции уп ( х ) удовлетворяли условиям уп ( хо )a и yn ( x1 ) a для всех значений параметров a1. Притаком выборе функций уп ( х ) функционал V [ y ( x )] превращается в функцию Ф ( а1, a2,..., an ) коэффициентов ai, последние выбирают так, чтобы эта функция достигала экстремума, т. е. определяют их из системы уравнений

.

Например, пусть требуется решить задачу о минимуме интеграла

при условии y (0) y (1) 0 . В качестве функций j i ( x ) можно взять xi (1 - х ) , тогда

.

Если n 2, то . Для определения коэффициентов a1 и a 2 получаем после вычислений два уравнения

;

.

Решением этих уравнений являются числа a1 71/369 и a2 7/41 . Следовательно, . Полученное приближённое решение отличается от точного на величину порядка 0,001.

Найденное этим методом приближённое решение уп ( х ) вариационной задачи при некоторых условиях, касающихся в основном полноты системы функций j i ( x ) , стремится к точному решению у ( х ) , когда n - ¥.

Метод был предложен в 1908 немецким математиком В. Ритцем (W. Ritz). Теоретическое обоснование метода дано сов. математиком Н. М. Крыловым (1918).

Метод Галёркина является широким обобщением метода Ритца и применяется главным образом для приближённого решения вариационных и краевых задач, в том числе и тех, которые не сводятся к вариационным. Основная идея метода Галёркина состоит в следующем. Пусть требуется в некоторой области D найти решение дифференциального уравнения

L [ u ] 0(1)

(L - некоторый дифференциальный оператор, например по двум переменным), удовлетворяющее на границе S области D однородным краевым условиям:

u 0.(2)

Если функция u является решением уравнения (1) в области D, то функция L [ u ] тождественно равна нулю в этой области и, следовательно, ортогональна (см. Ортогональность ) любой функции в области D. Приближённое решение уравнения (1) ищут в виде

,(3)

где y i ( x, y ) ( i 1, 2,..., n ) - линейно независимые функции, удовлетворяющие краевым условиям (2) и являющиеся первыми n функциями некоторой системы функций y 1 ( x, у ) , y 2 ( х, у ) ,..., y п ( х, у ) ,..., полной в данной области. Постоянные коэффициенты ai выбирают так, чтобы функция L [ un ] была ортогональна в D первым n функциям системы y i ( x, y ):

(4)

.

Например, пусть в области D требуется решить уравнение Пуассона

при условии u 0 на S . Выбирая систему функций y i ( x, y ) , ищем решение в виде (3). Система уравнений (4) для определения коэффициентов ai имеет вид:

.

Функции y i ( x, y ) можно, в частности, выбирать, пользуясь следующими соображениями. Пусть w( x, y ) - непрерывная функция, имеющая внутри области D непрерывные частные производные второго порядка и такая, что w( x, y ) > 0внутри D, w( x, y )0 на S . Тогда в качестве системы функций y i ( x, y ) можно взять систему, составленную из произведений w( x, y )на различные степени х и y : , , , , - Например, если границей области D является окружность S радиуса R с центром в начале координат, то можно положить w( x, y ) R2 - x2 - y2.

Метод Галёркина применяется при решении широкого класса задач; более общая его формулировка даётся в терминах функционального анализа для решения уравнений вида Au - f 0, где А - линейный оператор, определённый на линеале, плотном в некотором гильбертовом пространстве H, u - искомый и f - заданный элементы пространства H.

Метод получил распространение после исследований Б. Г. Галёркина (1915); ранее (1913) он применялся для решения конкретных задач теории упругости И. Г. Бубновым , в связи с чем иногда именуется методом Бубнова - Галёркина. Теоретическое обоснование метода принадлежит М. В. Келдышу (1942).

Лит.: Галёркин Б. Г., Стержни и пластинки. Ряды в некоторых вопросах упругого равновесия стержней и пластинок, 'Вестник инженеров', 1915, т. 1, | 19, с. 897-908; Михлин С. Г., Вариационные методы в математической физике, 2 изд., М. - Л., 1970; Канторович Л. В. и Крылов В. И., Приближённые методы высшего анализа, 5 изд., Л. - М., 1962; Ritz W., Neue Methode zur Losung gewisser Randwertaufgaben, 'Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen. Math.-physik. Klasse. Nachrichten', Gottingen, 1908; его же, Uber еще neue Methode zur Losung gewisser Variationsprobleme der mathematischen Physik, 'Journal fur die reine und angewandte Mathematik', 1909, Bd 135.

В. Г. Карманов.

Большая советская энциклопедия, БСЭ. 2012