уравнения, уравнения вида
X1dx1 + X 2 dx 2 + ... + Xndxn 0 , (1)
где X1 , X 2 , ..., Xn - заданные функции независимых переменных x 1 , x 2 , ..., xn. Изучались И. Ф. Пфаффом (1814-15). Решение уравнения (1) состоит из соотношений
(2)
таких, что уравнение (1) является следствием их и соотношений df 10, df 2 0, ..., dfm 0. Соотношения (2) определяют интегральное многообразие П. у. (1). Если через каждую точку n -мерного пространства x 1 , x 2 , ..., xn проходит ( n - 1)-мерная интегральная гиперповерхность, т. е. если уравнение (1) интегрируется одним соотношением, содержащим одну произвольную постоянную, то оно называется вполне интегрируемым.
В случае трёх независимых переменных х, у, z П. у. может быть записано в виде
Pdx + Qdy + Rdz 0,(1-)
где Р Р ( х , у , z ), Q Q ( х , у , z ), R R ( х , у , z ). Геометрически решение уравнения (1-) означает нахождение кривых в пространстве х , у , z , ортогональных в каждой своей точке векторному полю { Р , Q , R }, т. е. таких кривых, нормальная плоскость к которым в каждой точке содержит вектор поля. Такие кривые являются интегральными кривыми уравнения (1-). Если задать одно соотношение Ф ( х , у , z ) 0 произвольно, т. е. искать интегральные кривые на произвольной гладкой поверхности, то из уравнения (1-) и соотношения
находятся, например, dy / dx и dz / dx как функции х , у , z , и задача сводится к интегрированию системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Решая ее, находят двупараметрическое семейство кривых, из которого выделяют однопараметрическое семейство интегральных кривых уравнения (1'), лежащих на заданной поверхности Ф ( х , у , z ) 0 . Это семейство интегральных кривых может рассматриваться как пересечение заданной поверхности и однопараметрического семейства поверхностей Ф1( х , у , z , с ) 0,т. е. общее решение П. у. (1') состоит из двух соотношений Ф ( х , у , z )0 и Ф1( х , у , z , с ) 0, из которых первое произвольно, а второе определяется по первому. П. у. (1') интегрируется одним соотношением F ( х , у , z , с) 0, т. е. является вполне интегрируемым, если выполняется условие интегрируемости
тождественно относительно х , у , z. Геометрически это значит, что существует однопараметрическое семейство интегральных поверхностей П. у. (1-), ортогональных в каждой точке векторному полю { Р , Q, R }.Любая кривая на интегральной поверхности является интегральной кривой П. у. (1-).
Теория П. у. обобщена на случай систем П. у., играющих особо важную роль в приложениях. П. у. и системы П. у. встречаются в механике неголономных систем, т.к. неголономные связи суть П. у. между виртуальными перемещениями, а также в термодинамике.
Лит.: Рашевский П. К., Геометрическая теория уравнений с частными производными, М. - Л. ,1947; Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959; Goursat Е., Leçons sur le problème de Pfaff, P., 1922.