Значение СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ в Большой советской энциклопедии, БСЭ

СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ

кристаллов, свойство кристаллов совмещаться с собой в различных положениях путём поворотов, отражений, параллельных переносов либо части или комбинации этих операций. Симметрия внешней формы (огранки) кристалла определяется симметрией его атомного строения, которая обусловливает также и симметрию физических свойств кристалла.

На рис. 1 , а изображен кристалл кварца . Внешняя его форма такова, что поворотом на 120| вокруг оси 3 он может быть совмещен сам с собой (совместимое равенство). Кристалл метасиликата натрия ( рис. 1 , б) преобразуется в себя отражением в плоскости симметрии m (зеркальное равенство). Т. о., симметрия означает возможность преобразования объекта совмещающего его с собой. Если F ( x1 , x2 , x3 ) - функция, описывающая объект, например форму кристалла в трёхмерном пространстве или какое-либо его свойство, а операция g [ x1 , x2 , x3 ] осуществляет преобразование координат всех точек объекта, то g является операцией или преобразованием симметрии, а F - симметричным объектом, если выполняются условия:

g [ x1 ,. x2 , x3 ] (1, a )

F ( x1 , x2 , x3 ) F ( x2 , x2 , x3 ).(1, б )

В наиболее общей формулировке симметрия - неизменность (инвариантность) объектов при некоторых преобразованиях описывающих их переменных. Кристаллы - объекты в трёхмерном пространстве, поэтому классическая теория С. к. - теория симметрических преобразований в себя трёхмерного пространства с учётом того, что внутренняя атомная структура кристаллов - трёхмерно-периодическая, т. е. описывается как кристаллическая решётка . При преобразованиях симметрии пространство не деформируется, а преобразуется как жёсткое целое (ортогональное, или изометрическое, преобразование). После преобразования симметрии части объекта, находившиеся в одном месте, совпадают с частями, находящимися в др. месте. Это означает, что в симметричном объекте есть равные части (совместимые или зеркальные).

С. к. проявляется не только в их структуре и свойствах в реальном трёхмерном пространстве, но также и при описании энергетического спектра электронов кристалла в импульсном пространстве (см. Твёрдое тело ), при анализе процессов дифракции рентгеновских лучей в кристаллах с помощью пространства обратных длин и т. п.

Группа симметрии кристаллов. Кристаллу может быть присуща не одна, а несколько операций симметрии. Так, кристалл кварца ( рис. 1 , а) совмещается с собой нс только при повороте на 120| вокруг оси 3 (операция g1 ), ной при повороте вокруг оси 3 на 240| (операция g2 ), а также при поворотах на 180| вокруг осей 2 x , 2 y , 2 w (операции g3 , g4 и g5 ). Каждой операции симметрии может быть сопоставлен геометрический образ - элемент симметрии - прямая, плоскость или точка, относительно которой производится данная операция. Например, ось 3 или оси 2 x , 2 y , 2 w являются осями симметрии, плоскость m ( рис. 1 , б) - плоскостью зеркальной симметрии и т. п. Совокупность операций симметрии [ g1 ,..., gn ] данного кристалла образует группу симметрии G в смысле математической теории групп . Последовательное проведение двух операций симметрии также является операцией симметрии. Всегда существует операция идентичности g0 , ничего не изменяющая в кристалле, называется отождествлением, геометрически соответствующая неподвижности объекта или повороту его на 360| вокруг любой оси. Число операций, образующих группу G , называется порядком группы.

Группы симметрии классифицируют: по числу n измерений пространства, в которых они определены; по числу т измерений пространства, в которых объект периодичен (их соответственно обозначают Gmn ) и по некоторым другим признакам. Для описания кристаллов используют различные группы симметрии, из которых важнейшими являются пространственные группы симметрии G33 , описывающие атомную структуру кристаллов, и точечные группы симметрии G03 , описывающие их внешнюю форму. Последние называются также кристаллографическими классами.

Симметрия огранки кристаллов. Операциями точечной симметрии являются: повороты вокруг оси симметрии порядка N на 360|/ N ( рис. 2 , а), отражение в плоскости симметрии (зеркальное отражение, рис. 2 , б), инверсия (симметрия относительно точки, рис. 2 , в), инверсионные повороты (комбинация поворота на 360|/ N с одновременной инверсией, рис. 2 , г). Вместо инверсионных поворотов иногда рассматривают зеркальные повороты . Геометрически возможные сочетания этих операций определяют ту или иную точечную группу ( рис. 3 ), которые изображаются обычно в стереографической проекции. При преобразованиях точечной симметрии по крайней мере одна точка объекта остаётся неподвижной - преобразуется сама в себя. В ней пересекаются все элементы симметрии, и она является центром стереографической проекции.

Точечные преобразования симметрии g [ x 1, x 2, x 3] описываются линейными уравнениями:

x' 1 а 11 х 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3,

x' 2 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3,(2)

x' 3 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3,

т. е. матрицей коэффициента ( a ij). Например, при повороте вокруг хз на угол a 360|/ N матрица коэффициентов имеет вид:

,(3)

а при отражении в плоскости x 1, x 2 имеет вид:

(3a)

Поскольку N может быть любым, число групп бесконечно. Однако в кристаллах ввиду наличия кристаллической решётки возможны только операции и соответственно оси симметрии до 6-го порядка (кроме 5-го), которые обозначаются символами: 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , а также инверсионные оси: (она же центр симметрии), m (она же плоскость симметрии), . Поэтому количество точечных кристаллографических групп, описывающих внешнюю форму кристаллов, ограничено. Эти 32 группы С. к. приведены в таблице. В международные обозначения точечных групп входят символы основных (порождающих) элементов симметрии, им присущих. Эти группы объединяются по симметрии формы элементарной ячейки (с периодами а , b , с и углами a, b, g) в 7 сингоний кристаллографических - триклинную, моноклинную, ромбическую, тетрагональную, тригональную, гексагональную и кубическую. Принадлежность кристалла к той или иной группе определяется гониометрически (см. Гониометр ) или рентгенографически (см. Рентгеновский структурный анализ ).

Группы, содержащие лишь повороты, описывают кристаллы, состоящие только из совместимо равных частей. Эти группы называются группами 1-го рода. Группы, содержащие отражения, или инверсионные повороты, описывают кристаллы, в которых есть зеркально равные части (но могут быть и совместимо равные части). Эти группы называются группами 2-го рода. Кристаллы, описываемые группами 1-го рода, могут кристаллизоваться в двух энантиоморфных формах, условно называемых 'правой' и 'левой', каждая из них не содержит элементов симметрии 2-го рода, но они зеркально равны друг другу (см. Энантиоморфизм , Кварц ).

Точечные группы описывают симметрию не только кристаллов, но любых конечных фигур. В живой природе часто наблюдается запрещенная в кристаллографии симметрия с осями 5-го, 7-го порядка и выше. Например, для описания регулярной структуры сферических вирусов ( рис. 4 ), в оболочках которых соблюдаются кристаллографические принципы плотной укладки молекул, оказалась важной икосаэдрическая точечная группа 532.

Симметрия физических свойств. Предельные группы. В отношении макроскопических физических свойств (оптических, электрических, механических и др.), кристаллы ведут себя как однородная анизотропная среда, т. е. дискретность их атомной структуры не проявляется. Однородность означает, что свойства одинаковы в любой точке кристалла, однако при этом многие свойства зависят от направления (см. Анизотропия ). Зависимость от направления можно представить в виде функции и построить указательную поверхность данного свойства ( рис. 5, см. также ст. Кристаллооптика ). Эта функция, которая может быть различной для разных физических свойств кристалла (векторной или тензорной) имеет определённую точечную симметрию, однозначно связанную с группой симметрии огранения кристалла. Она либо совпадает с ней, либо выше её по симметрии (принцип Неймана).

Многие из свойств кристаллов, принадлежащих к определённым классам, описываются предельными точечными группами, содержащими оси симметрии бесконечного порядка, обозначаемые ¥. Наличие оси ¥ означает, что объект совмещается с собой при повороте на любой, в том числе бесконечно малый угол. Таких групп 7, они представлены на рис. 6 образцовыми фигурами и соответствующими символами. Т. о., всего имеется 32 + 7 39 точечных групп, описывающих симметрию свойств кристаллов. Зная группу С. к., можно указать возможность наличия или отсутствия в нём некоторых физических свойств (см. Кристаллы , Кристаллофизика ).

Обозначения и названия 32 групп точечной симметрии

Сингония

Обозначения Название

Соотношение констант эле -

ментарной ячейки

международные

по Шенфлису

Триклинная

С1

Моноэдрическая

а ¹ b ¹ с

С1

Пинакоидальная

a ¹ b ¹ g ¹ 90|

Моноклинная

С2

Диэдрическая осевая

а ¹ b ¹ с

Диэдрическая безосная

a g 90|

2/m

C2h

Призматическая

b ¹ 90|

Ромбическая

222

Ромбо-тетраэдрическая

а ¹ b ¹ с

C2 u

Ромбо-пирамидальная

mmm

D2h

Ромбо-дипирамидальная

a b g 90|

Тетрагональная

Тетрагонально-пирамидальная

а b ¹ с

a b g 90|

422

Тетрагонально-трапецоэдрическая

4/m

C4h

Тетрагонально-дипирамидальная

4mm

C4 u

Дитетрагонально-пирамидальная

4/mmm

D4h

Дитетрагонально-дипирамидальная

Тетрагонально-тетраэдрическая

D2d

Тетрагонально-скаленоэдрическая

Тригональная

Тригонально-пирамидальная

а b с

a b g ¹ 90|

Тригонально-трапецоэдрическая

C3 u

Дитригонально-пирамидальная

C3i

Ромбоэдрическая

D3d

Дитригонально-скаленоэдрическая

C3h

Тригонально-дипирамидальная

Гексагональная

D3h

Дитригонально-дипирамидальная

а b ¹ с

a b 90|

g 120|

Гексагонально-пирамидальная

Гексагонально-трапецоэдрическая

6/m

C6h

Гексагонально-дипирамидальная

6mm

C6 u

Дигексагонально-пирамидальная

6/mmm

D6h

Дигексагонально-дипирамидальная

Кубическая

Тритетраэдрическая

а b с

a b g 90|

Дидодекаэдрическая

Гексатетраэдрическая

Триоктаэдрическая

m3m

Гексоктаэдрическая

Пространственная симметрия атомной структуры кристаллов (кристаллической решётки) описывается пространственными группами симметрии . Характерными для решётки операциями являются три некомпланарных переноса а , b , с , называемых трансляциями, которые задают трёхмерную периодичность атомной структуры кристаллов. Сдвиг (перенос) структуры на векторы a1 , b2 , c3 или любой вектор t p1a1 + p2b2 + p3c3 , где p1 , p2 , p3 - любые целые положительные или отрицательные числа, совмещает структуру кристалла с собой, и следовательно, является операцией симметрии, удовлетворяющей условиям ( 1 , а, б). Параллелепипед, построенный на векторах а , b и c , называется параллелепипедом повторяемости или элементарной ячейкой кристалла ( рис. 7 , а, б). В элементарной ячейке содержится некоторая минимальная группировка атомов, 'размножение' которой операциями симметрии, в том числе трансляциями, образует кристаллическую решётку. Элементарная ячейка и размещение в ней атомов устанавливается методами рентгеновского структурного анализа , электронографии или нейтронографии .

Вследствие возможности комбинирования в решётке трансляций и операций точечной симметрии в группах G33 возникают операции и соответствующие им элементы симметрии с трансляционной компонентой - винтовые оси различных порядков и плоскости скользящего отражения ( рис. 2 , д).

Всего известно 230 пространственных (фёдоровских) групп симметрии , и любой кристалл относится к одной из этих групп. Трансляционные компоненты элементов микросимметрии макроскопически не проявляются, например винтовая ось в огранке кристаллов проявляется как соответствующая по порядку простая поворотная ось. Поэтому каждая из 230 групп макроскопически сходственна с одной из 32 точечных групп. Например, точечной группе mmm или D2h сходственны 28 пространственных групп. Совокупность переносов, присущих данной пространственной группе, есть её трансляционная подгруппа, или Браве решётка ; таких решёток существует 14 .

Симметрия слоев и цепей. Для описания плоских или вытянутых в одном направлении фрагментов структуры кристаллов могут быть использованы группы - двумерно периодические и - одномерно периодические в трёхмерном пространстве. Эти группы играют важную роль в изучении биологических структур и молекул. Например, группы описывают строение биологических мембран , группы - цепных молекул ( рис. 8 , а) палочкообразных вирусов , трубчатых кристаллов глобулярных белков ( рис. 8 , б), в которых молекулы уложены согласно спиральной (винтовой) симметрии, возможной в группах .

Обобщённая симметрия. В основе определения симметрии лежит понятие равенства ( 1 , б) при преобразовании ( 1 , а). Однако физически (и математически) объект может быть равен себе по одним признакам и не равен по другим. Например, распределение ядер и электронов в кристалле антиферромагнетика можно описать с помощью обычной пространственной симметрии, но если учесть распределение в нём магнитных моментов ( рис. 9 ), то 'обычной', классической симметрии уже недостаточно. К подобного рода обобщениям симметрии относится антисимметрия и цветная симметрия. В антисимметрии в дополнение к трём пространственным переменным x1 , x2 , x3 вводится добавочная, 4-я переменная x4 | 1 . Это можно истолковать таким образом, что при преобразовании ( 1 , а) функция F может быть не только равна себе, как в ( 1 , б), но и изменить знак. Условно такую операцию можно изобразить изменением цвета ( рис. 10 ). Существует 58 групп точечной антисимметрии и 1651 пространственная группа антисимметрии (шубниковских групп). Если добавочная переменная приобретает не два значения, а несколько (возможны числа 3, 4, 6, 8,..., 48), то возникает 'цветная' симметрия Белова. Так, известна 81 точечная группа G03, ц . Основные приложения обобщённой симметрии в кристаллографии - описание магнитных структур.

Др. обобщения симметрии: симметрия подобия, когда равенство частей фигуры заменяется их подобием ( рис. 11 ), криволинейная симметрия, статистическая симметрия, вводимая при описании структуры разупорядоченных кристаллов, твёрдых растворов , жидких кристаллов , и др.

Лит.: Шубников А. В., Копцик В. А., Симметрия в науке и искусстве, 2 изд., М., 1972; Вейль Г., Симметрия, пер. с англ., М., 1968; Федоров Е. С.. Симметрия и структура кристаллов, [М.], 1949; Шубников А. В., Симметрия и антисимметрия конечных фигур, М., 1951.

Б. К. Вайнштейн.

Большая советская энциклопедия, БСЭ. 2012